Wie kann man einfach zeigen, dass jede beschränkte Funktion ihr Maximum annimmt?
Wir sollen in Mathe beweisen, dass jede nach oben beschränkte Funktion auch ihr Maximum annimmt. Wie kann man so etwas möglichst kurz und einfach formulieren?
Eine noch oben beschränkte Funktion *muss* ihr Maximum nicht annehmen, es lässt sich auch leicht ein Gegenbeispiel erzeugen. Da fehlen weitere Bedingungen
Es geht darum, ob eine Funktion f, die nach oben beschränkt ist, an mindestens einer Stelle ihren maximalen Wert annimmt. Wahr oder falsch?
2 Antworten
Betrachte:
ist nach oben beschränkt (ist niemals größer Null) aber nimmt nirgendwo ihr Supremum an, daher gibt es kein Maximum.
Du meinst eher, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen (in diesem Fall also die Bildmenge der Funktion) ein Supremum besitzt, oder? Das Maximum wird ja per Definition von der Funktion angenommen, wenn sie eines hat, das wäre witzlos zu beweisen.
Dieser Satz ist eine Form des Vollständigkeitsaxioms. Um ihn zu beweisen, müsste man also wissen, welches Axiom ihr stattdessen als Vollständigkeitsaxiom genommen habt (z.B. Archimedisches Axiom+jede reelle Cauchy-Folge konvergiert, Archimedisches Axiom+Intervallschachtelungaxiom) um dann die Gültigkeit des Satzes zeigen zu können.
Die Frage lautet: ist eine Funktion f, die nach oben beschränkt ist, so nimmt sie an mindestens einer Stelle ihren maximalen Wert annimmt. Wahr oder falsch?