Mathe: komplizierte Funktionen
Hallo ihr Lieben,
ich bräuchte unbedingt Hilfe bei einer Mathe Aufgabe.
Welche der Funktionen
x ---> (x^3-10^9x^2-10^5)/(2012^9x^8/3)
x---> (cos[x^2+x^5]+sin^2*x)/([sinx+2]lnx)
wird für große Werte von x beliebig groß, und welche bleibt für große Werte von x nach oben beschränkt?
Ich weiß einfach nicht wie ich die Sache angehen soll. Kann man die Funktionen noch irgendwie vereinfachen? Bin etwas überfragt bei dieser Komplexität der Funktionen... Vielen Dank schon mal für eure Hilfe :)
2 Antworten
Naja, überleg dir doch einfach, was die Teilfunktionenen machen. Bei der unteren Funktion ist das ganz einfach: sin und cos bewegen sich doch immer nur im Bereich von -1 bis 1. Das heißt: Der Zähler der Funktion kann maximal 2 werden (cos(blabla)=1 und sin(blabla)=1 ) und minimal -1( Dann ist der cos=-1 und der sin=0, wegen dem hoch 2) kann der ja nicht negativ werden). Aber eigentlich sind uns die genauen Werte egal (Ohne drüber nachzudenken wissen wir ja auch nicht, ob sion und cos hier gleichzeitig den maximalen/minilaen Wert annehmen können). Es geht einfach darum, dass das hier nicht goß werden kann, weil beide Funktionen eben im Bereich -1...1 beleiben müssen. Das heißt: Allein auf Grund des Zählers kann diese Funktion noch nicht gegen unendlich gehen. Schauen wir uns den Nenner an: Damit die Funktion gegen unendlich gehen würde, müsste der Nenener gegen 0 gehen (Wei eine Zahl durch "beinahe Null" etwas sehr großes ergibt). Hier haben wir aber Wieder einen Sin(blabla)+2. Der Sinus kann wieder nur zwischen -1 und 1 liegen, da nooch zwei addiert werden kommt das insgesamt auf Werte zwischen 1 und 3. Damit kann das den kritischen Wert 0 schnonal nicht hervorrufefen. Und was macht der Logarithmus? Wir sollen das ja für "große Werte" von x untersuchen. Für x gegen unendlich geht aber auch der Logarithmus gegen unendlich--> Wir teilen durch eine sehr große Zahl--> es kommt eine sehr kleine Zahl heraus. Also insgesamt: Der Zähler "zappelt" zwar irgendwie rum, ist aber beschränkt und geht nie gehgen unendlich. Der Nenner wird nun für große x sehr groß--> Die Gesamtfunktion geht gegen Null---> Das Ding ist beschränkt.
Jetzt die erste Funktion. Das ist ja eine Gebrochenrationale Funktion, weil der Zähler und der Nenner jeweil sganz normale Polynome sind. Hier ist es oft etwas schwieriger, weil normalerweise Zähler und Nenener gegen unendlich gehen, und man deshalb schauen muss ob einer "gewinnt" oder ob es ein "Unentschieden" gibt. Das Verfahren dazu: Man klammert einfach oben und unten die jeweils höchste Potenz von x aus. Dann kürzt man und schaut, was der Rest macht. Hier wprde man also im Zähler x³ ausklammern, im Nenner x^8:
(x³-10^9x²-10^5)/(2012^9x^8/3)=x³* (1-10^9/x-10^5/x³)/(x^8* (2012^9/3))
= (1-10^9/x-10^5/x³)/(x^5* (2012^9/3))
Das interessante ist jetzt, das man dann viele Ausdrücke in der Form "Zahl durch x hoch irgendwas" bekommt, hier also 10^9/x und 10^5/x³. Diese Ausdrücke gehen ja für große x gegen Null, daher verschwinden sie bei dieser Betrachtung Für große x kann man den Term also sehr gut durch eine Funktion annähern, die diese ganzen Teilbrüche nicht meerh anthält. Man bekommt:
(1)/(x^5* (2012^9/3))
Jetzt gibt es drei Möglichkeiten: Es gibt entweder überhaupt kein x mehr, dann hat die Funktion einen Grenzwert (den man damit auch schon berechnet hat). Oder es bleibt noch ein x hoch irgendwas im Zähler übrig. Dann ist der Nnenr konstant und der Zähler geht gegen unendlich bzw. minus unendlich--> die gesamte Funktion geht gegen plus oder minus unendlich. Dritter Fall (haben wir hier): Es bleibt noch ein x im Nenner: Damit ist der Zähler konstant, der Nenner geht aber gegen plus oder minus unednlich--> die gesamte Funktion geht gegen Null. Damit ist auch diese Funktion beschränkt und geht gegen Null für große x. (Zumindest wenn du alles richtig hingesxchriben hast, sieht ein wenig merkwürdig aus, aber jetzt soltest du in der Lage sein, das sonst alleine zu machen)
Bei gebrochenrationalen Funktionen schaut man sich nur die Höchsten Exponenten von x an:
(x^3 - 10^9x^2 - 10^5)/(2012^9x^8/3)
Im Zähler haben wir x^3 und im Nenner haben wir x^(8/3) = x^2,666. Ich denke mal du hast hier nur falsch geklammert.
Damit ist die Potenz im Zahler größer und das Teil geht gegen unendlich für große x.