Wie löst man ein homogenes lineares Gleichungssystem mittels Transformation in eine Gleichung?

Hallo Leute,

ich habe in der Mathevorlesung gehört, dass man ein DGL-System aus n Gleichungen 1. Ordnung u.U. in eine DGL n-ter Ordnung umwandeln kann. Das wollte ich natürlich mal ausprobieren.

Ich habe folgendes Gleichungssystem:

y1' = y1 + 3 y2

y2' = - y1 + 5 y2

Als Lösung auf "normalem" Wege habe ich erhalten:

y = c1 * (1 | 3) e^2x + c2 * (1 | 1) e^4x

Dann wollte ich das System mit Transformation in eine Gleichung 2. Ordnung lösen. Ich habe die 1. Gleichung nach y2 umgestellt, in die zweite eingesetzt und dann erhalten:

y1 = c1 * e^2x + c2 * e^4x

Bei beiden Methoden hab ich das gleiche charakteristische Polynom erhalten und wie man sieht hat's dann auch mit den Eigenwerten geklappt.

Aber: Was mache ich denn jetzt wegen den Eigenvektoren? Ich hab die DGL 2. Ordnung nun zwar gelöst, jedoch keine Eigenvektoren bestimmt. Insofern ist die Lösung doch unbrauchbar, weil ich im Endeffekt trotzdem teilweise den "normalen" Lösungsweg gehen muss, um mir die Eigenvektoren zu berechnen.

Oder übersehe ich hier etwas? Kann ich, wenn ich das DGL-System in eine DGL wandle trotzdem noch irgendwie an die Eigenvektoren kommen ohne mir unnötig mehr Arbeit zu machen?

PS: Mit "normalen" Lösungsweg meine ich das Rechnen mit der Koeffizientenmatrix zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms, der Eigenwerte und schließlich den Eigenvektoren. Denn wenn ich das DGL-System in eine DGL 2. Ordnung überführe, damit aber nur bis zu den Eigenwerten komme und dann für die Eigenvektoren trotzdem wieder mit der Matritze rechnen muss, dann hab ich mir ja keine Arbeit gespart sondern nur unnötig Zeit mit der Transformation verschwendet.

Schule, Mathematik, Mathe, Differentialgleichung, differentialrechnung, Gleichungssysteme
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