Welchen Ansatz zur Lösung der DGL?

Ich weiß gerade leider nicht, wie ich hier vorgehen soll um die Aussagen zuzuordnen.
Hat jemand Tipps?

Answer 1

[eterneladam]

Ich denke, man muss hier nicht rechnen, sondern das Diagramm scharf anschauen.

Beispiel: Im Intervall (-1/4, 1/4) sind die Feldlinien auf der rechten bzw. linken Seite der y-Achse mit entgegengesetzter Richtung, deshalb würde ich sagen, y(0)=1 geht nicht.

Answer 2

[KunXz]

Wenn du wirklich die Lösung suchst dann hilft hier Trennung der Variablen. Schreiben wir es in die passende Form um, erhalten wir (vorausgesetzt x ungleich 0)

$\frac{y'\left(x\right)}{\sqrt{y\left(x\right)^2\ +y\left(x\right)}}\ =\ \frac{1}{x}$

Damit gilt es zu lösen (Substituiere: y(x) = u)

$\int\ \frac{1}{\sqrt{u^2+u}}du\ =\ \int\ \frac{1}{x}\ dx$

löse beide Integrale, ersetze am Ende u durch y(x) und löse nach y(x) auf.

Ich komme am Ende (falls ich mich nicht irgendwo verrechnet habe) darauf

$y\left(x\right)\ =\ \frac{Cx\ -\ 2}{4}\ +\ \frac{1}{4Cx}$

hier muss C abhängig von dem Anfangswert gewählt werden.

Alternativ kannst du direkt eine Sache zuordnen, und zwar setz mal y(0) = 1 oben ein in deine gegebene DGL, dort würde stehen:

$0\ \cdot\ y'\left(0\right)\ =\ \sqrt{y\left(0\right)^2+y\left(0\right)}$

also

$0\ =\ \sqrt{2}$

was ein widerspruch ist (da offensichtlich 0 nicht gleich Wurzel 2 entspricht :D)

Das würde bedeuten es gibt keine Lösung für die gilt y(0) = 1.