Partikuläre Lösung inhomogene DGL 2. Ordnung?
Moin Leute!
Ich habe eine kurze Frage bezüglich des Lösens einer inhomogenen DGL 2. Ordnung. Bei meiner Lösung kommt es nämlich wie im Bild zu sehen dazu, dass meine partikuläre Gleichung bereits in der homogenen Lösung vorkommt und ich so keine partikuläre y Gleichung erstellen kann. Wie sieht dann die allgemeine Lösung aus? Ist die Aufgabe mit der homogenen Lösung bereits beendet?
Danke für eure Hilfe
3 Antworten
Bei meiner Lösung kommt es nämlich wie im Bild zu sehen dazu, dass meine partikuläre Gleichung bereits in der homogenen Lösung vorkommt
Sicher nicht, die DGL ist ja nicht homogen. Rechne das nochmal nach, Ae^x löst nicht die angegebene DGL.
Das passiert eigentlich nicht.
Das ODE fehlt auf den Bild... Ich denke, dass du wegen "λ = -1" oben (links) ein linearen ODE hast, bei den du zuerst die homogene Lösung über die Substitution y(x) := Exp[λ x] finden wolltest.
Ist λ = -1, so ist eine Familie an Homogenen Lösungen yₕ(x) = c Exp[-x]. Diese Lösung hast du aber nicht, also ist mindestens 1 Zwischenergebnis falsch.
Zudem steht Exp[x] als homogene Lösung da, was λ = 1 bedeuten würde. Ich folgere:
Die allgemeine Lösung sähe so aus:
Die Herleitung kannst du z.B. hier finden.
Ist f(x) eine Konstante (f(x) = b), so wäre die Lösung z.B.:
Wir könnten mehr helfen, wenn das ODE dastehen würde...
TippMein allgemeiner Tipp zum Lösen dieser Gleichungen einfach die Laplace Transformation zu nutzen. Mit der kannst du lineare ODEs beliebiger Ordnung, konstanten Koeffizienten (außer der der Ordnung 0) in geschlossener Form lösen.
Ich habe das ODE oben rechts zu spät gesehen:
Bei dir wäre a=1, f(x) = -Exp[x] und die partikulare Lösung x * Exp[x] / 2.
Ich kann aus deinem Geschreibsel leider weder ableiten was deine Lösungen des homogenen Systems sind noch was eine Lösung des inhomogenen sein soll. Die Lösung des inhomogenen Systems mit dieser einfachen Störfunktion findest du z.B. in Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen 16 Die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.