Komplexe Gleichung lösen?
Hallo, ich möchte diese komplexe Gleichung mittels Mitternachtsformel lösen. Die Gleichung habe ich gedanklich schon nach 0 umgestellt und eingesetzt. Ist das Vorgehen falsch? Ich komme leider nicht so auf die Lösung (siehe unteres Bild)
3 Antworten
Dein Vorgehen ist soweit richtig. Du musst nur weiterrechnen...
Oder bereitet dir der Hauptwert der Quadratwurzel von 4i Probleme? Dann...
Siehe beispielsweise auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel#Quadratwurzeln_aus_komplexen_Zahlen
Hallo,
pq-Formel ist gut. Allerdings mußt Du wissen, wie man die Wurzel aus einer komplexen Zahl zieht.
Nimm die 4 aus der Wurzel, so daß darunter nur i bleibt, das ist dann einfacher.
Da i in der komplexen Zahlenebene auf der imaginären Achse liegt und vom Ursprung den Abstand von 1 hat, hat der Zeiger auf i auch eine Länge von 1 und einen Winkel von 90° zur reellen Achse.
Um die Wurzel zu ziehen, ziehst Du die Wurzel aus der Länge des Zeigers, also die Wurzel aus 1, die ebenfalls 1 ergibt. Da Du die Quadratwurzeln suchst, teilst Du den Winkel durch 2 und kommst auf 45°.
Die erste Quadratwurzel aus i ist dann 1*(cos(45°)+i*sin(45°)). Die zweite ist dann
1*(cos(225°)+i*sin(225°)), denn die Wurzeln liegen um 360°/2=180° versetzt auf einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung der komplexen Zahlenebene.
Hast Du die Wurzel, kannst Du die Nullstellen endgültig berechnen.
Herzliche Grüße,
Willy
z² + z + 1/4 = (z + 1/2)²
Daraus folgt für die zu lösende Gleichung:
(a) (z + 1/2)² = i
(a) z + 1/2 = √ i
(a) z = √ i - 1/2
Aus arg( i ) = π/2 folgt arg( √ i ) = π/4
somit
√ i = cos(π/4) + i*sin(π/4)
und die erste Lösung:
(a) z = cos(π/4) + i*sin(π/4) - 1/2
(a) z = 1/√2 + i/√2 - 1/2
Da wir oben aus einem quadratischen Term die Wurzel gezogen haben, gibt es noch die zweite Lösung
(b) -(z + 1/2) = √i
(b) z = - √i - 1/2
(b) z = -cos(π/4) - i*sin(π/4) - 1/2
(b) z = -1/√2 - i/√2 - 1/2