homogene lineare DGL 1. Ordnung?

Hallo,

ich habe hier eine Frage, wo ich nicht weiß, wie man vorgehen soll. Diese Frage lautet:

Gibt es eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung (mit ggf. nichtkonstanten Koeffizienten), die

x(t)=2+sin(t)+(t^4)

als eine Lösung hat? Dies soll auch begründet werden.

Für jede Hilfe wäre ich im Voraus danbar.

Answer 1

[mihisu]

Idee:

$x(t)=2+\sin(t)+t^4$

$x'(t)=\cos(t)+4\cdot t^3$

$\frac{x'(t)}{x(t)}=\frac{\cos(t)+4\cdot t^3}{2+\sin(t)+t^4}$

Dementsprechend erhält man die folgende homogene Differentialgleichung erster Ordnung...

$x'(t)=\frac{\cos(t)+4\cdot t^3}{2+\sin(t)+t^4}\cdot x(t)$

[Edit: In meiner Antwort waren zunächst Zähler und Nenner des Bruches vertauscht. Das habe ich nun korrigiert.]

Comments

[thefast1curi207]

Wieso wird am Ende noch mit x(t) multipliziert? Und reicht das so als Begründung aus?

[mihisu]

@thefast1curi207

Naja. Üblicherweise gibt man eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung in der Form x′(t) = A(t) ⋅ x(t) oder in der Form x′(t) + a(t) ⋅ x(t) = 0 an. Ich habe dementsprechend mit x(t) multipliziert, um die Gleichung in der Form x′(t) = A(t) ⋅ x(t) anzugeben.

Und... Ja, die Rechnung sollte als Begründung ausreichen. Daraus wird offensichtlich klar, dass die Differentialgleichung eine Lösung mit Funktionsgleichung x(t) = 2 + sin(t) + t⁴ hat.

[thefast1curi207]

@mihisu

Vielen Dank für deine Antwort.