Differenzialgleichung : Charakteristisches Polynom hat keine Nullstellen?
Hallo!
Ich habe hier eine homogene, lineare DGL 2. Grades, und das charakteristische Polynom 0=x^2+2x+2 hat keine Nullstellen. Wie verfahre ich hier weiter???
Die DGL: y''+2y'+2y=0
Vielen Dank im Voraus!
4 Antworten
Hallo,
wenn Du die Eigenwerte gefunden hast - z.B. mit der pq-Formel, dann gibt es folgende Optionen, mit folgenden Funktionen als Lösung:
- Eigenwert ist reell und einfach vorhanden. Dann nehme als Funktion:
y(t) = c1 * e^(λt)
wobei λ der Eigenwert ist - Eigenwert ist mehrfach vorhanden. Dann gilt allgemein für den Ansatz:
y(t) = c1 * e^(λt) + c2 * t * e^(λt) + c3 * t^2 * e^(λt) + cn * t^(n-1) e^(λt)
wobei der Eigenwert n-fach auftritt - Eigenwert tritt als komplex konjugiertes Paar auf (das ist bei Dir der Fall, denn die Nullstellen des charakteristischen Polynoms liegen bei -1 + i und -1 - i). Dann verwende
y(t) = c1 * e^(αt) cos(βt) + c2 * e^(αt) sin(βt)
wobei mit z = α + i β gerade α der Realteil der Zahl ist (bei Dir: -1) und β der Imaginärteil (bei Dir: 1)
3. Fall - somit lautet die Lösung der DGL
- y(t) = c1 e^(-t) cos(t) + c2 e^(-t) sin(t)
Falls Du mit komplexen Zahlen noch nicht vertraut bist - gibt viele gute YouTube-Videos dazu. Die sind hier recht wichtig für das Verständnis ^^
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Bei Fragen melde Dich :)
LG. Kesselwagen
Wie in der Antwort von surbahar53 ja schon anlang, hat diese Gleichung durchaus Lösungen, Allerdings sind diese nicht reel, sondern eben komplex:
x1 = -1 + i; x2 = -1 - i; wobei i² = -1
Mit diesen beiden Nullstellen kannst du jetzt nach dem ganz normalen Schema weiterrechen.
Zum Umformen können allerdings noch die Formeln für sin und cos hilfreich sein:
2*i*sin(x) = e^(i*x)-e^(-i*x)
2*cos(x) = e^(i*x) + e^(-i*x)
Einfach aus den Mathe-Formelbuch abschreiben,Kapitel "Differentialgleichungen".
So ein Buch bekommt man für 30 Euro in jeden Buchladen und hat so 600 Seiten mit Formeln,Zeichnungen und kleinen Beispielaufgaben.
Es gibt 3 Fälle und hier liegt Fall 3. vor
Lösung : y=e^(a*x)*(C1*cos(b*x)+C2*cos(b*x)=e^(a*x)*R*sin(b*x+phi)
Lösung war r1,2=-1+/-i *1 hier ist i die imaginäre Einheit ,siehe Mathe-Formelbuch ,"komplexe Zahlen"
r1,2=a+i*b hier ist a=-1 und b=1 eingesetzt
y=e^(-1*x)*(C1*cos(1*x)+C2*sin(1*x)) oder
y=e^(-1*x)*R*(sin(1*x+phi) mit R=Wurzel(C1^2+C2^2)
f(x)=C1*sin(w*x)+C2*cos(w*x)=R*sin(w*x+phi)
dies ist eine "Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen" mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) w1=w2=w
siehe Mathe-Formelbuch ,Kapitel "Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen.
R=Wurzel(C1^2+C2^2) ist der "resultierende Vektor",der aus den beiden Vektoren C1 und C2 entsteht.C1 und C2 bilden am Einheitskreis ein "rechtwinkliges Dreieck"
Satz des Pythagoras c²=a²+b² hier R²=C1²+C2²
Da brauchst du nur die Formeln abschreiben und dann anwenden.
Fazit : Die Koeffizienten C1 und C2 müssen aus den Rahmenbedingungen der Aufgabe ermittelt werden.
Ooohh,ich sehe gerade,dass ich die Lösung falsch abgetippt habe.
Lösung y=e^(a*x)*(C1*cos(b*x)+C2*sin(b*x))=e^(a*x)*sin(b*x+phi)
So ein Buch gehört zur Standardausrüstung von Schülern und Studenten,die mit Volumenberechnung,Funktionen,usw. zu tun haben.Außerdem braucht man auch noch einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.
Auch ist das Buch wichtig,wenn du eine Familie hast und Kinder,dann kannst du sie Formeln beibringen und sie sehen dann,das ein normales Mathe-Buch mehr bringt als ein "Smartphone".
Ich habe hier Fälle,die können nicht einmal einen Kreis berechnen.
1. Schritt: Mathe-Formelbuch aufschlagen,Kapitel "Geometrie"
2. Schritt: Formeln abschreiben
3. Schritt: Zahlen einsetzen oder vielleicht,wenn nötig,Formeln umstellen.
Ich mußte mich hier schon oft in die "Ecke stellen und bitterlich weinen",weil die Schüler zu diesen 3 Schritten nicht in der Lage waren.
x^2 + 2x + 2 = 0
x^2 + 2x = - 2
x^2 + 2x + 1 = - 2 + 1
(x + 1)^2 = - 1
x + 1 = ± wurzel(-1)
x = - 1 ± i
Damit lautet die generelle Lösung
y(x) = e^(-x) * [c1 * sin(x) + c2 * cos(x)]
Okay, also forme ich so um, dass ich die Wurzel aus -1 ziehen kann (--> i)... wie baue ich das dann in diese Lösungsformel ein? Und wie heißt diese Formel allgemein? Das wäre suuuuper hilfreich, danke für deine Antwort!
Ich glaube ich hab es. Zwar über einen anderen Weg: Wäre die allgemeine Formel für die homogene Lösung richtig? :
c1*e[^(-p/2)*t]*cos[( Ip(^2)-4qI ) / 2] + c2*e[^(-p/2)*t]*sin[( Ip(^2)-4qI ) / 2]
y(x) = e^(-x) * [c1 * sin(x) + c2 * cos(x)]
y'(x) = -e^(-x) * [(c2+c1) * sin(x) + (c2-c1) * cos(x)]
y''(x) = 2 * e^(-x) * [c2 * sin(x) - c1 * cos(x)]
Setzt man das in die Gleichung
y''+2y'+2y = 0
ein und löst auf, bleibt folgende Bedingung stehen
c2 * cos(x) = -c1 * sin(x)
Danke für deine Antwort, aber so ein Buch werde ich wahrscheinlich nicht wieder brauchen. Ich studiere Pflanzenbiotechnologie und habe nur ein einziges Mathemodul :) Daher muss ich nicht so in die Tiefe gehen. Allerdings ist das Skript vom Prof nicht wirklich hilfreich zum Verständnis x)