Faktorisieren von Polynomen?
Hey Leute. Kann mir bitte jemand erklären wie man folgendes Polynom (allgemein Polynome vom Grad 3+) so faktorisiert, dass man Linearfaktoren erhält?
Es geht hierbei um die Matrix im Bild und ihr charakteristisches Polynom.
Besten Dank im Voraus :)
5 Antworten
Dafür kannst Du einfach eine Methode nutzen, indem Du eine Zahl ratest, damit die Summe davon zu 0 gesetzt wird.
Stelle Dir vor, dass
der Polynom ist. Nachdem Du x als 3 schriebst, musst Du mal die Gleichung durch x - 3 dividieren, woraus Du ( x - 3 )( x^2 - 4x + 4 ), bzw.
hast.
Einen ganzen Übersicht davon kannst Du mal hier https://de.wikibrief.org/wiki/Factor_theorem nackgucken. 😁
Alles Gute für Dich. 🤗
Die Übungsaufgaben sind oft so konstruiert, dass man einen Nullstelle raten kann, Wenn das Polynom ganzzahlig ist, dann teilen die Nullstellen das konstante Glied, hier die 12. Man kann also mal 1, 2, 3 probieren (auch mit Minus davor) und Glück haben. Beim Beispiel passen ja 2 und 3.
Du ermittelst im Grunde drei (nicht notwendiger Weise verschiedene) Nullstellen des Polynoms.
Es gibt für allgemeine Polynome dritten Grades zwar Lösungsformel (z.B. die von Cardano oder das trigonometrische Pendant dazu), aber die sind nicht effizient, wenn es um ganzzahlige Nullstellen geht.
Wenn du die ohne Taschenrechner faktorisieren sollt, dann musst du die erste Nullstelle im Allgemeinen raten (oder mit Näherungsverfahren erahnen und testen).
In der Regel wird die Nullstelle nicht einen Betrag größer drei haben.
Hast du die erste Nullstelle, kannst du das Polynom mittels Polynomdivision so faktorisieren, dass du den ersten Linearfaktor und ein quadratisches Polynom erhälst (oder ein lineares oder keins, je nach dem, ob es eine einfache, doppelte oder dreifache Nullstelle ist).
Die quadratische (oder lineare) Gleichung (falls es eine gibt) ist dann einfach mittel pq-Formel oder einfachem Umformen nach Nullstellen lösbar. Damit erhälst du dann alle Linearfaktoren.
Einen Linearfaktor schreibst du in der Form (x–x_n), wobei x_n eine Nullstelle ist. Das machst du für jede Nullstelle und nimmst das Produkt dieser Linearfaktoren.
Bei den Linearfaktoren handelt es sich, wenn man sie graphisch interpretiert, um Geradengleichungen, deren Schnittpunkte mit der x-Achse unmittelbar erkennbar sind. Darum suchst Du das Polynom zweckmässigerweise nach Nullstellen ab. Jede Nullstelle kann sofort als Linearfaktor notiert werden.
