Grad von Polynomen - ausmultiplizieren?
Hallo zusammen,
Ich habe da eine kleine Frage zu folgender Aufgabe:
Es seien A(x) und B(x) zwei Polynome mit nur einem unbestimmten x; A(x) habe den Grad 10, B(x) den Grad 50. Welchen Grad hat das Polynom A(x) · B(x)?
Da der Grad eines Polynoms bestimmt wird durch den höchsten Grad der Monome kann die Antwort doch nur 50 sein, da bei A(x) x B(x) der höchste Monom immer noch 50 ist. Oder liege ich falsch in meiner Antwort oder Begründung?
2 Antworten
welchen Grad hat x^10*x^50 ?
die beiden Funktionen werden multipliziert, dann bestimmt das Produkt der beiden x-Potenzen mit der jeweils höchste Potenz den Grad der neuen Funktion
Aber es geht doch um den Grad des Polynom A(x) x B(x) und nicht um den Grad des Resultats bzw der neuen Funktion.
Werden zwei Polynome vom Grad A und Grad B multipliziert, entsteht ein Polynom vom Grad A+B.
Beispiel:
(x^3+3) * (x^2+10) = x^5 + 10x^3 + 3x^2 + 30
Man kann sich nicht darauf beziehen, dass auf der linken Seite die höchste Potenz nach wie vor 3 sei, denn ein Polynom besteht laut Definition nur aus der Summe von Potenzen. Die linke Seite ist somit kein Polynom im Sinne der Definition.
Formal ist das in der Algebra zwar richtig, da man dort nicht notwendigerweise faktorisierte Darstellungen betrachten kann. Da aber die faktorisierte Darstellung z.B. in R oder C die selbe Funktion wie das eigentliche Polynom dar stellt (im Sinne von "jedes x produziert links und rechts den gleichen Wert" kann bei der oben stehenden linken Seite sehr wohl von einem Polynom gesprochen werden.