Kann mir bitte jemand bei folgender Polynom Aufgabe helfen?
Zeigen Sie, dass sich jedes reelle Polynom als Produkt von reellen linearen Polynomen und reellen quadratischen Polynomen schreiben lässt. (Benutzen Sie die Tatsache, dass alle Polynome im Komplexen vollständig in Linearfaktoren zerfallen).
1 Antwort
Du zerlegst das Polynom in seine Linarfaktoren (in dieser auch nicht-reelle Linearfaktoren auftauchen können).
Jetzt musst du wissen, dass wenn eine Nullstelle existiert, auch ihre komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle vom Polynom ist.
So kannst du zwei nicht-reelle Linearfaktoren, die komplex konjugierten Nullstellen besitzen, zu einem quadratischen Faktor zusammenfassen. Dieser ist dann, wie du schnell ausrechnen kannst, ein reelles Polynom zweiten Grades.
(x + i y – z) • (x – i y – z)
= x^2 – x i y – x z + i y x – i^2 y^2 – i y z – z x + z i y + z^2
= z^2 + (– 2 x) z + (y^2 + x^2)
mit x, y als reelle Zahlen und z als Variable.
So erhält du mit den reellen Linearfaktoren und den als reelle quadratische Polynome zusammengefassten, nicht-reellen Linearfaktoren die zu zeigende Zerlegung.