Welches charakteristische Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren?
Hi,
ich habe mir gerade die Kriterien für Trigonalisierbarkeit angeguckt und eine der Kriterien lautet ja, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfallen muss. Aber welches Polynom zerfällt denn nicht in Linearfaktoren? Im Reellen doch auf jeden Fall jedes, oder? Aber wie sieht es dann im Komplexen aus, kennt ihr ein Beispiel für ein charakteristisches Polynom, welches nicht in Linearfaktoren zerfällt?
LG
2 Antworten
Aber welches Polynom zerfällt denn nicht in Linearfaktoren? Im Reellen doch auf jeden Fall jedes, oder?
Nein, nicht jedes.
Über den reellen Zahlen gibt es einerseits Polynome, die in Linearfaktoren zerfallen, beispielsweise...
x² - 4 = (x - 2) ⋅ (x + 2)
[Dementsprechend ist beispielsweise die Matrix ((0, 2), (2, 0)) über den reellen Zahlen trigonalisierbar.]
Über den reellen Zahlen gibt es andererseits auch Polynome, die nicht in Linearfaktoren zerfallen, beispielsweise...
x² + 4
[Dementsprechend ist beispielsweise die Matrix ((0, -2), (2, 0)) über den reellen Zahlen nicht trigonalisierbar.]
Aber wie sieht es dann im Komplexen aus, kennt ihr ein Beispiel für ein charakteristisches Polynom, welches nicht in Linearfaktoren zerfällt?
Nach Fundamentalsatz der Algebra gilt: Die komplexen Zahlen bilden einen algebraisch abgeschlossenen Körper. D.h. alle Polynome über den komplexen Zahlen zerfallen in Linearfaktoren.
Demnach ist auch jede Matrix über den komplexen Zahlen trigonalisierbar.
Da auf den komplexen Zahlen jedes Polynom vom Grad n >= 1 genau n Nullstellen hat, zerfällt jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren.
Es zerfällt aber nicht jedes reelle Polynom in Linearfaktoren, da nicht jedes Polynom reelle Nullstellen hat.
Betrachte z.B. das char. Polynom p(t) = t^2 + 1
Im reellen hat das Polynom keine Nullstellen und damit keine Linearfaktorzerlegung.
Im Komplexen hingegen kannst du diese Linearfaktorzerlegung aufstellen:
p(t) = (x - i ) * (x + i)