Komplexe Eigenwerte einer Matrix berechnen?
Wenn ich das charakteristische Polynom dieser Matrix berechne erhalte ich einen Ausdruck dritten Grades. Das heißt ich müsste im komplexen 3 Eigenwerte erhalten. Die aus der Schule bekannten Lösungsformeln liefern aber nur die reelen (2). Was ist die übliche Methode um die komplexen zu ermitteln ?
4 Antworten
Im fundamentalen Satz der Algebra heißt es in etwa, dass man gemäß dem Grad eines (Charakteristischen) Polynoms ebenso viele Nullstellen finden wird.
Der Grad ist gleich Drei.
Durch Probe findet man x1 = 4.
Durch Polynomdivision und p-q-Formel die doppelte Nullstelle x2/3 = -2. (Auch bei Herausziehen von -1.)
Wobei {-2, -2, 4} eine Teilmenge der komplexen Zahlen ist.
Wenn mich nicht alles täuscht, ist das charakteristische Polynom
Vorgehen, um davon die Nullstellen zu finden:
- Es gibt Formel zur geschlossenen Bestimmung der Nullstellen eines Polynom dritten Grades. Google hilft.
- Besser ist aber bei solchen Aufgaben, erstmal eine Lösung zu "raten": das konstante Glied des Polynoms ist das Produkt aller Nullstellen (kannst dir ja mal überlegen, warum das so ist). Bei Übungsaufgaben sind häufig "nette" Werte als Nullstellen gewählt worden, d.h. ganze Zahlen. Schaue dir also mal die Faktoren von 16 an (1, 2, 4, 8, 16) und probiere die aus durch Einsetzen. Probiere natürlich auch die negativen Wert davon aus. Dann findest du bestimmt recht schnell eine Nullstelle. Dann kannst du Polynomdivision machen, hast nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen, und die pq-Formel tut wieder.
Was ist denn das übrig gebliebene Polynom? Polynome zweiten Grades mit reellen Koeffizienten haben 2 konjugierte komplexe Nullstellen. Du wendest auf das Polynom ganz normal die Mitternachtsformel an. Nur darfst du diesmal eben auch mit einer negativen Diskriminante rechnen. Ist die Diskriminante negativ, so machst du sie positiv indem du -1 heraus ziehst und dann die Wurzelgesetze anwendest. Dann bleibt i*wurzel(D) stehen.
Warnung: Übe RECHTZEITIG mit komplexen Zahlen zu rechnen. Die können völlig unvermutet in Klausuren vorkommen. Während meines Studiums kamen in den Vorlesungen und Übungen komplexe Zahlen vielleicht ein oder zwei Mal vor mit dem Hinweis "Sie wissen nun also wie man damit umgeht". Dann war in der LA Klausur auf ein Mal ein Lineares Gleichungssystem über C mit komplexem Formparameter zu berechnen. Das war ... toll!
Ich meine mich Dunkel an ein charakteristisches Polynom zu erinnern, dann wieder die bekannte Nullstellensuche im Komplexen.
Die reelle Nullstelle (2) hat der Fragesteller doch schon erfolgreich bestimmt.