Eigenwerte schnell berechnen?
Wenn zB. eine Matrix der Form:
gegeben ist:
Wie kann man da schnell die Eigenwerte berechnen?
Kontext ist, dass es eine Klausuraufgabe ohne Hilfsmittel ist und ich finde, dass das sehr fehleranfällig wäre, das char. Polynom mit Sarrus oder Laplace zu berechnen. Ich habe von einem "Gauß-Barreis-Verfahren"(Oder so ähnlich) gehört, ist aber nicht in unserem Skript und daher auch nicht zulässig.
2 Antworten
Hi,
es gibt manchmal ein paar Tricks durch genaues Hinsehen. Bei dieser Matrix hier kann ich zB zwei der vier Eigenwerte ziemlich sofort sehen. Wir suchen ja E, sodass die folgende Determinante 0 wird:
[-18-E -16 -6 2 ]
0=det[ 16 14-E 6 2 ]
[ 8 8 3-E 1 ]
[-8 -8 -1 1-E]
Hier können wir die unterste Zeile auf die vorletzte Zeile addieren und außerdem die zweite Spalte von der ersten subtrahieren:
[-2-E -16 -6 2 ]
0=det[ 2+E 14-E 6 2 ]
[ 0 0 2-E 2-E]
[ 0 -8 -1 1-E]
und hier kann man zwei Dinge sehen: und zwar verschwindet die vorletzte Zeile für E=2, also ist das ein Eigenwert. Außerdem verschwindet die erste Spalte für E=-2, also ist das ein weiterer Eigenwert.
Bei den anderen Eigenwerten wird es etwas schwieriger, ich sehe die nicht sofort... Aber jetzt ist es auch nicht mehr so schlimm die Determinante auszuführen, denn wir haben einige Nulleinträge und können für die erste Spalte zB eine Laplace-Entwicklung machen. Dabei wird die Nullstelle in 2 sogar direkt ausgeklammert. Wenn du dann noch die andere Nullstelle bei -2 ausklammerst, ist das restliche Polynom von Grad 2 und kann einfach gelöst werden
da du nur die eigenwerte bestimmen sollst, kannst du vorher geschickte basis umformungen machen