Berechne die Eigenwerte der 3x3 Matrix mit den Zeilenvektoren (1.Zeile, 2 1 0), (2. Zeile, 1 1 1), (3. Zeile, 0 1 2) ich komme nicht auf die Nullstellen,hilfe!?

Die letzte Zeile: Laut Lösungen müssten die Zahlen 0, 2 und 3 die Nullstellen sein, also die Eigenwerte. Mit Python habe ich 10 000 Werte in die Zeile gesteckt, nichts außer die 0 ergab eine Nullstelle, woher kommt die 2 und die 3? Ich raste komplett aus. Ich bin schon seit stunden an dieser Aufgabe dran.

Die Determinante habe ich mit der Regel von Sarrus berechnet.

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[Chrisslybear5]

Löse die letzte Zeile mal komplett auf (also ausmultiplizieren)

[Niklas136]

Die -Lambda kann man ja aus allen Klammern ziehen... Am Ende bin ich soweit gekommen, wie oben in der Ergänzung steht

Answer 1

[Wechselfreund]

Fehlen da nicht Klammern in der letzten Zeile?

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[Niklas136]

Eigentlich sind doch keine weiteren Klammern notwendig. Für Lambda müsste man ja jetzt einfach mal einige Werte einsetzen und sehen, ob eine Null bei heraus kommt. Dann wäre die eingesetzte Zahl eine Nullstelle, also ein Eigenwert der Matrix A.

[Wechselfreund]

@Niklas136

(2-x)(1-x)(2-x) -(2-x)-(2-x) ist die Determinante.

Da kann man 2-x ausklammern, womit x = 2 schon mal als Lösung da wäre. Der Restterm ist (x²-3x) = x(x-3). Als weitere Lösungen also x = 0 und x = 3.

Answer 2

[Chrisslybear5]

Dein Fehler liegt bei der Berechnung der Determinanten mit der Sarrus-Regel. Bestimmen wir die Eigenwerte schrittweise (siehe andere Antwort).

Du musst insbesondere darauf achten, die Klammern richtig zu setzen. In deinem Bild sind diese nämlich in der letzten Zeile nicht korrekt (vergleiche mit meiner Lösung). Daher kommst du beim Vereinfachen auch auf ein anderes Ergebnis.

Die Eigenwerte von 0, 2 & 3 sind jedenfalls korrekt - die Nullstellenbildung war mit etwas Umformung der Terme erstaunlich einfach.

Kleiner Tipp am Rande: Mein Matheprof hat uns von der Sarrus-Regel abgeraten, da diese sehr fehlerbelastet ist. Ich würde dir auch eher den Entwicklungssatz näherlegen. Dieser ist wirklich einfach (siehe Variante 1 meiner Lösung). Falls dort Unklarheiten bestehen, melde dich einfach.

Beste Grüße

Answer 3

[Chrisslybear5]

Da die Bilder in der Antwort leider nicht hochgeladen werden nun händisch:

Du kannst die Determinante auf zwei Varianten bestimmen:

Variante 1: Entwicklung nach 1. Spalte
Dann gilt:
$p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\cdot\left(\left(1-λ\right)\cdot\left(2-λ\right)-1\cdot1\right)-1\cdot\left(1\cdot\left(2-λ\right)-0\right)+0$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\cdot\left(\left(1-λ\right)\left(2-λ\right)-1\right)-1\left(2-λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(2-λ-2λ+λ^2-1\right)-\left(2-λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(λ^2-3λ+1\right)-\left(2-λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(λ^2-3λ+1-1\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(λ^2-3λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(λ\left(λ-3\right)\right)$ Die Nullstellen können aus der letzten Zeile direkt abgelesen werden und sind 0, 2 & 3.

Variante 2: Sarrus-Regel
Dann gilt:
$p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(1-λ\right)\left(2-λ\right)+1\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot1-0\cdot\left(1-λ\right)\cdot0-\left(1\cdot1\cdot\left(2-λ\right)\right)-\left(\left(2-λ\right)\cdot1\cdot1\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(1-λ\right)\left(2-λ\right)-\left(1\cdot\left(2-λ\right)\right)-\left(2-λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)^2\left(1-λ\right)-\left(2-λ\right)-\left(2-λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(\left(1-λ\right)\left(2-λ\right)-1-1\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(2-λ-2λ+λ^2-2\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(λ^2-3λ\right)$ $p\left(λ\right)=\left(2-λ\right)\left(λ\left(λ-3\right)\right)$ Die Nullstellen sind 0, 2, 3.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

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[Niklas136]

Vielen Dank für deine Hilfe! :)

[Chrisslybear5]

@Niklas136

Gerne. Falls du Fragen zur Berechnung hast, melde dich einfach.