Wie bekomm ich welche Eigenwerte der folg. sym. Matrix heraus?

• erster berechneter EW von mir ist lambda=2
• durch Polynomdiv. bekommt man eine quadr. Gleichung mit nicht reellen Nst. -> was falsch ist

Über eine kurze Erklärung würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

[evtldocha]

Kann sein, dass ich mich verrechnet habe, aber mein charakteristisches Polynom hat die Form:

$\det\left(A-λE\right)=\left(2-λ\right)\cdot\left(\left(2-λ\right)^2-2\right)$

Und das kann man mit dem Satz vom Nullprodukt für jede der beiden Klammern separat lösen und man bekommt 3 Eigenwerte.

$λ_1=2;\ λ_2=2-\sqrt{2};λ_3=2+\sqrt{2}$

Wenn Du also andere Lösungen bekommst, würde ich mal tippen, dass Dein charakteristisches Polynom falsch ist (oder bei Deiner Polynomdivision - die hier unnötig wäre - etwas schiefgegangen ist).

Nachrechnen hier:

https://matrixcalc.org/de/vectors.html#eigenvectors%28%7B%7B2,-1,0%7D,%7B-1,2,-1%7D,%7B0,-1,2%7D%7D%29

Answer 2

[mihisu]

durch Polynomdiv. bekommt man eine quadr. Gleichung mit nicht reellen Nst. -> was falsch ist

Dann hast du dich bei der Polynomdivision (oder in einem der vorigen Schritte) verrechnet.

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Ich würde das so rechnen...

$\chi_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E_\text{3})$

$\chi_{A}(\lambda)=\det \begin{pmatrix}2-\lambda & -1 & 0\\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}$

[Regel von Sarrus]

$\chi_{A}(\lambda)=\left(2-\lambda\right)^{3}+0+0-0-\left(-1\right)^2\cdot \left(2-\lambda\right)-\left(-1\right)^2\cdot \left(2-\lambda\right)$

$\chi_{A}(\lambda)=\left(2-\lambda\right)^{3}-\left(2-\lambda\right)-\left(2-\lambda\right)$

$\chi_{A}(\lambda)=\left(2-\lambda\right)^{3}-2\cdot \left(2-\lambda\right)$

$\chi_{A}(\lambda)=\left(2-\lambda\right)^{2}\cdot \left(2-\lambda\right)-2\cdot \left(2-\lambda\right)$

$\chi_{A}(\lambda)=\left(\left(2-\lambda\right)^{2}-2\right)\cdot \left(2-\lambda\right)$

$\chi_{A}(\lambda)=\left(\left(2-\lambda\right)^{2}-\sqrt{2}^2\right)\cdot \left(2-\lambda\right)$

[3. binomische Formel]

$\chi_{A}(\lambda)=\left(2-\lambda-\sqrt{2}\right)\cdot\left(2-\lambda+\sqrt{2}\right)\cdot \left(2-\lambda\right)$

Was sind nun die Eigenwerte der Matrix A? Also was sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms?

$\chi_{A}(\lambda)=0\quad \Leftrightarrow\quad 2-\lambda-\sqrt{2}=0\ \vee\ 2-\lambda+\sqrt{2}=0\ \vee\ 2-\lambda = 0$

$\Leftrightarrow\quad \lambda=2-\sqrt{2}\ \vee\ \lambda=2+\sqrt{2}\ \vee\ \lambda = 2$

Ergebnis: Die Eigenwerte sind 2 - √(2) und 2 + √(2) und 2.

$\lambda_1=2-\sqrt{2};\quad \lambda_2=2;\quad \lambda_3=2+\sqrt{2}$

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Bzw. kann man statt direkt das charakteristische Polynom durch Ausklammern und Anwenden der binomischen Formel zu faktorisieren, auch das Polynom zunächst ausmultiplizieren. (Das hast du vermutlich gemacht, wie es sich liest.)

Dann erhält man...

$\chi_{A}(\lambda) = -\lambda^3+6 \lambda^2-10 \lambda+4$

Da kann man dann 2 als eine Nullstelle „erraten“ und erhält nach entsprechender Polynomdivision...

$\chi_{A}(\lambda) = \left(-\lambda^2+4 \lambda-2\right) \cdot \left(\lambda -2\right)$

Für die weiteren Nullstellen kann man nun die Gleichung...

$-\lambda^2+4 \lambda-2=0$

... betrachten. Das ist eine quadratische Gleichung, bei der man die Nullstellen beispielsweise (nachdem man mit -1 multipliziert hat) mit der p-q-Formel erhalten kann...

$\lambda^2-4 \lambda+2=0$

[p-q-Formel mit p = -4 und q = 2]

$\lambda = -\frac{\left(-4\right)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-4\right)}{2}\right)^2-2}$

$\lambda = 2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-2}$

$\lambda = 2\pm\sqrt{4-2}$

$\lambda = 2\pm\sqrt{2}$

So kommt man dann auch, neben dem zuvor gefundenen Eigenwert 2, auf die weiteren Eigenwerte 2 + √(2) und 2 - √(2).

Du merkst aber vielleicht, dass das aufwändiger ist, als direkt gleich das charakteristische Polynom zu faktorisieren, indem man geeignet ausklammert. Insbesondere würde es zumindest helfen, wenn man nach Ausklammern von 2 - λ auf

$\chi_{A}(\lambda)=\left(\left(2-\lambda\right)^{2}-2\right)\cdot \left(2-\lambda\right)$

kommt. Dann muss man gar nicht unbedingt erkennen, das man da die 3. binomische Formel nutzen kann. Man kann auch den vorderen Teil ausmultiplizieren und erhält...

$\chi_{A}(\lambda)=\left(\lambda^2-4\lambda+2\right)\cdot \left(2-\lambda\right)$

Dann spart man sich zumindest, das Polynom komplett auszumultiplizieren und dann eine Polynomdivision machen zu müssen. Sondern man kann dann beim vorderen Teil gleich die p-q-Formel verwenden, um zwei der Eigenwerte zu erhalten, und beim hinteren Teil 2 - λ den dritten Eigenwert 2 erkennen.