Eigenwerte berechnen, Zeilenumformungen erlaubt?
Hallo zusammen, ich würde gerne die EW von dieser Matrix berechnen.
Wenn ich den Laplace´schen Entwicklungssatz o. Sarrus anwende, komme ich nicht an einer Polynomdivision vorbei.
Meine Frage:
Wenn ich jetzt die Matrix aufschreibe mit -lambda auf der Hauptdiagonalen. Darf ich dann Zeilenumformungen durchführen? Dann könnte ich nähmlich Zeile 1 - Zeile 2 machen und hätte in der ersten Zeile nur noch -lambda. Dann könnte ich ganz entspannt entwickeln.
Gibt es da Regeln, ich finde leider nichts dazu...
1 Antwort
Wenn du Vielfache von Zeilen zu anderen addierst, änderst du den Wert der Determinante nicht, denn mit der Linearität der Determinante folgt aus
det((z_1), ..., (z_i), ..., (z_j) + k • (z_i), ..., (z_n))
= det((z_1), ..., (z_i), ...,(z_j), ..., (z_n)) + det((z_1, ..., (z_i), ..., k • (z_i), ..., (z_n))
= det((z_1), ..., (z_i), ..., (z_j), ..., (z_n)).
In der zweiten Zeile ist die Determinante nämlich null, da zweimal der Zeilenvektor (z_i) auftaucht (davon einmal als k-faches), die Zeilenvektoren also linear abhängig sind.
Demnach darfst du Zeilenumformungen durchführen, allerdings nur im Sinne der Addition von Vielfachen von Zeilen zu anderen, aber nicht nur Zeilen viervielfachen oder vertauschen (damit würdest du auch die Determinante vervielfachen bzw. evtl. das Vorzeichen verändern).
Also du darfst Zeile 2 von Zeile 1 subtrahieren.