Trick um Eigenwerte zu berechnen?
Gibt es einen Trick, wenn man zwei Eigenwerte und deren Eigenvektoren kennt, aber noch den letzten Eigenwert sucht? (Ohne Sarrus/Entwicklungssatz anzuwenden)
Oder kennt ihr allgemein Tricks, die einem extrem Zeit sparen wenn schon mehrere Eigenwerte bekannt sind?
Edit: Spur = Summe der Eigenwerte. Daraus kann man dritten EW berechnen.
2 Antworten
Wenn es sich um eine 3x3-Matrix A handelt, von der Du bereits 2 Eigenwerte lambda_1 und lambda_2 kennst, kannst Du den dritten EW lambda_3 direkt über die Spur der Matrix berechnen, die sich leicht ablesen lässt. Es gilt:
Spur(A) = a_11 + a_22 + a_33 = lambda_1 + lambda_2 + lambda_3.
Den zugehörigen Eigenvektor musst Du dann allerdings noch ausrechnen…
Herzlichen Dank, dass sind diese Tricks die einem wichtige Minuten schenken!
Wenn du die Eigenvektoren kennst, ist es doch ganz einfach.
Du multiplizierst die Eigenvektoren mit der Matrix und schaust, welches Vielfaches des Eigenvektores du erhälst. Das Vielfache entspricht dann dem Eigenwert.
Ne, da kenne ich keinen Trick.
Allerdings brauchst beim normalen Verfahren (Matrix – Lambda • Einheitsmatrix und davon die Determinante null setzen) weniger Arbeit für den dritten Eigenwert.
Du kannst einfach eine Polynomdivision durchführen, wodurch du schneller den dritten Eigenwert berechnen kannst. Das macht eigentlich nicht viel Arbeit.
Achte allerdings darauf, dass Eigenwerte auch mehrfach vorkommen können. Wenn du ein Polynom dritten Grades in seine Linearfaktoren zerlegst - die Eigenwerte also direkt ablesen kannst -, kann es eben sein, dass eine Linearkombination mehrfach vorkommt, z. B. 2(λ–1)²(λ+2). Dann erhälst du im Prinzip ja nur zwei Eigenwerte.
Vielleicht habe ich meine Frage falsch formuliert. Ich meinte, wenn ich bswp. zwei Eigenwerte habe und deren Eigenvektoren und keinerlei Infos über den dritten Eigenwert- und Vektor.
Das Nutzen des Eigenwertproblems als Formel habe ich ja bereits für den vorherigen Aufgabenteil mit dem Alpha & Beta :)