Hilfe, wie berechne ich diese Eigenwerte?
Hier geht es um Aufgabenteil c. Wie kommt man auf die beiden Eigenwerte?
Ich verzweifle...
2 Antworten
Bildet man C = A0^4, entstehen die Diagonalelemente -8 und 4 und det(C) = 16.
Für die beiden Eigenwerte k, l von C gilt:
det(C) = k*l = 16
spur(C) = -8 + 4 = k + l
Daraus folgt:
l = -k - 4
k*(-k - 4) = 16
-k² - 4*k - 16 = 0
Lösung:
k1 = -2 - 2*sqrt(3)*i --> l1 = 2 + 2*sqrt(3)*i - 4 = -2 + 2i*sqrt(3)
k2 = -2 + 2*sqrt(3)*i --> l2 = 2 - 2*sqrt(3)*i - 4 = -2 - 2i*sqrt(3)
Wegen k1=l2 und k2=l1 lauten die beiden Eigenwerte:
-2 - 2*sqrt(3)*i und -2 + 2*sqrt(3)*i
Tipp: Mit der Spur und der Determinante kannst die Eigenwerte der Matrix bestimmen.
Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen Eigenwerte, Spur und Determinante vorliegt
Angenommen die Eigenwerte sind a und b.
Betrachten das Polynom (x-a)(x-b), welches die Nullstellen a und b hat. Multiplizieren es aus, dann sollte dir was auffallen.
Wie gesagt, multipliziere mal (x-a)(x-b) aus. Du erhälst dann ein Polynom dessen Nullstellen die Eigenwerte sind. Wenn du nun die von dir genannten Zusammenhänge anwendest, kennst du das Polynom, und kannst somit die Nullstellen und somit auch die Eigenwerte bestimmen
Ich steh auf dem Schlauch... Habs ausmultipliziert aber sehe keine Erkenntnis...
Was stellt a+b dar, wenn a und b die Eigenwerte sind? Was stellt a*b dar?
Ich setze in die Gleichung ein für: a+b=Sp & a*b=det oder?
Super, darauf wäre ich überhaupt nicht gekommen!
Habs gemerkt ;) Vielen Dank, endlich verstanden!
Ich weiß, dass folgende Zusammenhänge gelten:
Spur=Summe aller EW
Det=Produkt aller EW
Aber was genau meinst du mit dem letzten Teil deiner Antwort? :)