Matrix A^5 berechnen?

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Der Vorteil bei dieser Berechnungsmethode ist, dass man Diagonalmatrizen einfach potenzieren kann, nämlich indem man die Diagonaleinträge potenziert. Insbesondere wenn man Potenzen mit sehr großem Exponenten berechnet, geht das im Vergleich zum sturen Multiplizieren viel schneller. Der Exponent 5 ist hier noch recht klein, so dass man hier kaum einen Vorteil hat. Aber beispielsweise bei A^2018 merkt man einen deutlichen Vorteil.

 - (Schule, Mathematik, lineare-algebra)

Vielen dank :)

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  1. also die WP schlägt binäre Exponentiation vor: https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixpotenz#Effiziente_Berechnung
  2. ist (4 2) nich irgendwie ne langweilige Matrix?
  3. wie soll man überhaupt ne 2x1 Matrix mit ner 2x1 Matrix multiplizieren?
  4. eigentlich ist die Potenz doch nur für nxn definiert... oda?

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                 / 4 2 \                                   
Die Matrix  A =  \ 1 3 /   hat die Eigenwerte

              / 2 \
5 (zu bspw.   \ 1 / ) und
      
              /  1\
2 (zu bspw.   \ -1/ ).

A^5 hat dann die Eigenwerte 5^5 und 2^5 mit denselben Eigenvektoren. Bezeichnet man die Elemente von A^5 mit a,b,c,d , also

  5   / a b \                                   
 A =  \ c d /, so erhält man aus        
      
/ a b \ / 2 \        / 2 \
\ c d / \ 1 /  = 5^5 \ 1 /    und 

/ a b \ /  1\        /  1\
\ c d / \ -1/  = 2^5 \ -1/

vier lineare Gleichungen mit vier Unbekannten. Das System hat die Lösung:

  a = 2094  b = 2062
  c = 1031  d = 1063 

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