Wie berechnet man das Bild einer Matrix? (verständliche Erklärung)
Hallo, kann mir jemand verständlich erklären wie man das Bild einer Matrix berechnet? Es gibt zwar hunderte Foreneinträge dazu, allerdings sind die meisten Antworten darauf mathematische Definitonen, die mir nicht viel helfen... Vielen Dank!
5 Antworten
eine lineare Abbildung f: V -> W sei gegeben durch eine Matrix A
Unter dem Bild der Matrix A versteht man die Menge aller Vektoren f(V), also die Menge aller Vektoren, die Bild eines Elements aus V sind.
Die Menge aller Vektoren f(V), also das Bild der Matrix A ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der linearen Hülle der Spaltenvektoren der Matrix A (falls A duch Spalten- und nicht durch Zeilenvektoren aufgebaut ist), also einfach so notiert:
Bild von A = Lin (1.Spaltenvektor von A, 2.Spaltenvektor von A, ....)
Falls die Spaltenvektoren nicht linear abhängig sind, stellen sie eine Basis dar.
Falls die Spaltenvektoren linear abhängig sind, genügt es auch, zur Angabe der lineare Hülle nur Spaltenvektoren anzugeben, die eine Basis darstellen. Diese Basisvektoren können aus den Spaltenvektoren von A errechnet werden.
Das Bild dieser Matrix A kann ganz einfach so angegeben werden:
Bild A = Lin ( (0,1,0), (1,1,1), (-1,0,1))
Nun könnte es natürlich sein, dass die Vektoren (0,1,0), (1,1,1), (-1,0,1) linear abhängig sind, und es würde auch genügen 2 oder gar nur einen Vektor anzugeben der / die den selben Raum aufspannen wie die Vektoren (0,1,0), (1,1,1), (-1,0,1).
Berechne also die Basis des Vektorraums, der durch die Vektoren (0,1,0), (1,1,1), (-1,0,1) aufgespannt wird.
Also die Determinante der Matrix ist 0, also sind die Vektoren ja linear abhängig, oder?
Aber wie berechnet man dann die Basis der drei Vektoren? :)
nach meinen Berechnungen ist die Determinante nicht Null, also sind die Vektoren (0,1,0), (1,1,1), (-1,0,1) linear unabhängig und stellen somit eine Basis des R³ dar.
Somit ist das Bild von A der R³
Oh hab mich verrechnet, danke!
Und wie würde das ganze dann funktionieren wenn die Determinante 0 ist?
Also ich habe mir eine Art Vorgehensweise rausgesucht: Sagen wir es ist die Matrix 2 0 0 0 2 0 0 0 -1 1 1 -1 2 1 1 -1 = A gegeben. (Ich entschuldige mich für die schlechte visuelle Darstellungsweise) Willst du nun das Bild berechnen gehst du wie folgt vor:
- Transponierte der Matrix bilden (Zeilen und Spalten vertauschen) 2 2 -1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 -1-1 = A^T
2) In Zeilenstufenform bringen (z.B. nach Gauß) 2 2 -1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 =A 3) Zurücktransponieren 2 0 0 0 2 0 0 0 -1 1 0 0 2 1 0 0 = A
4) Lineare Hülle der Spaltenvektoren bilden (Ich schreibe die Vektoren aus Übersichtsgründen jetzt in Zeilenform) Bild(A)=<(2 2 -1 2),(0 0 1 1)> = {t(2 2 -1 2)+s(0 0 1 1)|t,s e R}
ich hoffe das kann helfen (:
Wenn die Definitionsmenge ein Vektorraum (oder Untervektorraum, also etwa eine Ebene oder Gerade) ist, dann brauchst Du nur eine Basis dieses Vektorraums nehmen und die Bilder der einzelnen Basisvektoren bilden dann eine Basis des Bildes. Wenn du aber nur irgendeine Menge hast, dann musst Du theoretisch die Bilder jedes Elements der Defintionsmenge einsetzen.. aber das kommt normalerweise nicht vor.
Gucke einfach:
http://www.onlinetutorium.com/product_info.php?cPath=1_9&products_id=439 Hier wird alles dazu erklärt. Du solltest dich generell mal auf onlinetuorium.com umgucken......
Da ist aber ja schon ein Vektor gegeben und man soll überprüfen ob es das Bild der Matrix ist..
Erstmal danke für deine Antwort!
Was wäre denn dann z.B. das Bild der Matrix
0 1 -1
1 1 0
0 1 1
?