Eigenräume von doppeltem Eigenwert?
hallo, ich sitz schon seit längerem an einer eig. ziemlich einfachen aufgabe ...aber irgendwie steh ich trotzdem grad auf dem schlauch..
also ich habe folgende Matrix:
2 1 1 | 0
0 0 0| 0
0 0 0 | 0
lambda = (-3) (doppelter Eigenwert)
ist auch alles soweit richtig... steht ja so in meinem Buch ^^
als Lösung dieses Gleichungssystem steht dort:
-1
0
2
und
-1
2
0
wie genau komm ich da jetzt drauf :/ =? LG und danke
4 Antworten
Wenn eine lineare Abbildung einen Eigenwert hat, ist die Abbildung durch eine quadratische Matrix darstellbar.
Du legst aber eine rechteckige Matrix vor, wie sie im Gauß-Alogrithmus verwendet wird. Also sind die Antwortenden auf Spekulation angewiesen, was du denn nun tatsächlich meinst.
A. Wenn deine Rechtecksmatrix eine Schreibweise für das Gleichungsystem
(A - λI) x = 0
ist und diese Gleichung eine doppelte Lösung λ = -3 hat (sowie noch eine andere, die die nicht erwähnst), dann ist A durch deine Angaben nicht eindeutig bestimmt und dem Rätselraten überlassen. Die angegebenen Vektoren sind eine Basis des zweidimeinsionalen Eigenraums der Vektoren zu diesem Eigenwert. Dann findest du den passenden Kommentar bei Melvissimo.
Kurzfassung des Rechenweges wie bei isbowthen, nur unternimmt Melvissimo keine geometrische Deutung.
B. Wenn deine Rechtecksmatrix aber eine Schreibweise für das Gleichungsystem
A x = 0 ( 0 Nullvektor)
ist, rechnet sonciboom sehr schön vor., wie du zu Eigenwerten der Matrix A kommst.
Kurzfassung: Diese Matrix hat nicht den Eigenwert -3, sondern den einfachen Eigenwert +2 und den doppelten Eigenwert 0, denn die charakteristische Gleichung hat die Form
(λ -2)λ² = 0.
Die von dir angegebenen Vektoren sind eine Basis des zweidimensionalen Kerns der Abbildung, wohingegen der eindimensionale Eigenraum mit Vektoren zum Eigenwert 2 den ersten Basisvektor enthält.
C. Wenn es nur darum geht, dieses Gleichungssystem aufzulösen (und die Frage keine Rolle spielt, was der Eigenwert bedeutet), dann findest du die Antwort bei isbowthen.
Kurzfassung: In einem kartesischen xyz-System lässt sich die erste Zeile als die Normalenform einer Ursprungsebene E deuten, deren Punkte die anderen beiden Gleichungen (trivial) erfüllen. Die von dir angegebenen Vektoren sind dann Richtungsvektoren dieser Ebene, die durch den Schnitt von E mit der Ebene y = 0 ( xz-Ebene) und z = 0 ( xy-Ebene) entstehen. Die Linearkombination (zum Beispiel) dieser Richtungsvektoren erzeugt als Spann die Lösungsmenge des Systems.
Aaalso,
λ=-3 passt für die Matrix nach meinem Kenntnisstand nicht, ob das jetzt in deinem Buch so steht oder nicht. Naja vielleicht nur vertippt :-)
Jedenfalls ist es ja so:
Für die Berechnung der Eigenwerte wertest du die Gleichung
det|A - λI| = 0 , I:Einheitsmatrix
aus, was dann zum Charakteristischen Polynom führt. Für deine Matrix wäre das:
(2-λ)·λ² = 0
Und diese hat die Lösungen 2 und 0 (->Doppelter EW).
Um auf die Eigenvektoren zu kommen musst du nun:
(A - λᵢI) vᵢ = 0
für jeden Eigenwert i ausrechnen. Zu Beachten gibt'sdabei, dass das LGS welches man dafür lösen muss, unterbestimmt ist, was ja auch Sinn macht, weil die EW keine vorgegebene Länge haben.
Für λ = 2 erhält man (in Kurzschreibweise):
2-2 1 1 | 0 0 -2 0 | 0 0 0 -2| 0
Bedeutet für unseren Vektor sofort, dass v2 = v3 = 0 sind. v1 ist beliebig, weiil 0·v1 = 0 immer erfüllt bleibt, aber wir wählen die 1, sodass der erste EV die schöne Form (1,0,0)⊤ (transponiert) bekommt.
Für λ = 0 haben wir die Gleichung
2·v1 + v2 +v3 = 0zur Verfügung. Für die einfachsten Lösungen kann man nun nacheinander jeweils eine der drei Variablen zu null setzen, und dann die übrigen entsprechend für die Bedingung bestimmen. Wenn wir z.B v1 nullsetzen, muss v2 = - v3 sein. man bekäme (0,1,-1)⊤ oder (0,-1,1)⊤. Für v2=0 hätte man dann den dritten EV aus 2·v1 = -v3, also z.B. (-1,0,2)⊤ oder (1,0,-2)⊤.
Wichtig ist nur, dass du nicht linear abhängige Vektoren für einen doppelten EW nimmst.
Hoffe das war halbwegs verständlich ;-)
Viel Erfolg!
Naja, da der Eigenraum die Dimension 2 haben muss (Dimension des Raumes minus Dimension des Bildes der Matrix, also 3 - 1), reicht es, zwei linear unabhängige Vektoren zu finden, die im Kern der Matrix liegen. Der Eigenraum wird dann von diesen beiden Vektoren aufgespannt. Für diese Vektoren (x, y, z)^t muss nun gelten:
2x + y + z = 0. Durch "scharfes Hinsehen" oder durch geschicktes Ausprobieren kommt man schnell auf zwei solche Vektoren. Das Buch hat sich halt (-1,0,2)^t und (-1,2,0)^t herausgenommen.
Mit "geschicktes Ausprobieren" meine ich: Stellt man die Gleichung z.B. nach z um und setzt y=0, so erhält man sofort
z = 2x. D.h. ich kann schonmal jeden Vektor der Form (x, 0, -2x) nehmen (außer natürlich den Nullvektor), also zum Beispiel (1, 0, -2) oder eben (-1, 0, 2).
Wenn diese Matrix wirklich diejenige Matrix A ist, für die die Eigenräume bestimmt werden sollen, dann hast du natürlich recht. Im Text des Autors stand jedoch folgendes:
lambda = (-3) (doppelter Eigenwert)
ist auch alles soweit richtig... steht ja so in meinem Buch ^^
Tatsache ist, dass die obige Matrix keineswegs den Eigenwert -3 hat, was nur allzu offensichtlich ist. Daher interpretierte ich, dass die ursprüngliche Matrix A eine solche war, die tatsächlich den Eigenwert -3 hatte und die obige Matrix bereits die Matrix
A - (-3) * I ist, deren Kern dann eben der Eigenraum zum Wert -3 wäre.
In diesem Zusammenhang würde sich auch erklären, wieso auf der rechten Seite der Matrix eine abgetrennte Nullspalte auftaucht, ganz so als ob eben der Kern der Matrix auszurechnen wäre.
Ich hoffe, ich hab meine Gedankengänge nun verständlich genug ausgedrückt; falls das nicht der Fall sein sollte, empfange ich gerne weitere Nachfragen.
Du übst dich also sozusagen in stellvertretender Hirnverzwickung. So ist das plausibel, alles klar.
Nur könnte sich lheroine nicht bei der Angabe des Eigenwertes sich nicht schlicht vertippte. Schon das Pseudonym ist wunderbar doppeldeutig...
es gibt unendlich viele lösungen.
der lösungsraum besteht aus dem spann von den beiden angegebenen vektoren. der spann ist jeder vektor, der herauskommen kann, wenn man beliebnig weit in reichtung des 1ten vektors geht und danach beliebig weit in die andere richtung.
es gibt somit aber auch andere 2 vektoren, die denselben spann haben.
wäre obiges gleichungssystem eindeutig lösbar, also 3 linear unabhängige gleichungen, da wir auch 3 variablen haben, so hätten wir als ergebnis genau 1 vektor. fehlt eine gleichung, so geht man so vor: man setzt eine unbekannte auf einen beliebigen wert und löst dann für jeden beliebigen wert nach den anderen unbekannten auf. dadurch erhalten wir viele vektoren (unendlich viele) als lösung. geometrisch wäre das eine gerade. fehlt nochmal eine gleichung müssen wir das 2mal machen und wir erhalten geometrisch gesehen eine ebene an lösungen oder anders ausgedrückt: diejenige ebene, die sich durch die 2 geraden ergibt, die sich durch die fehlenden gleichungen ergeben.
du hast sicherlich schonmal ausprobiert, ob -1 0 2 und -1 2 0 lösungen sind. ja das sind sie. aber es wäre auch -1 1 1 eine lösung. die vorgehensweise ist eben beispielsweise:
gleichung 2 x + y + z = 0, setze x=a, wobei das eine beliebige nicht näher bestimmte zahl ist. da 2 gleichungen fehlen machen wir das auch für y. y=b.
=> 2a + b + z = 0 und damit z= -2a-b
für alle werte von a und b erhält man so das zugehörige z.
beispiel: a=-1, b=0; => z= 2, damit ergibt sich der vektor -1 0 2.
oder a=.1, b=2 => z=0, damit ergibt sich der andere vektor.
oder a=-1, b=1 => z=1
man weiß allerdings, dass der lösungsraum eine ebene ist. eine ebene ist eindeutig durch angabe von 2 geraden bestimmt, falls diese sich schneiden. alle geraden (jeweils eine für eine fehlende gleichung) müssen durch den ursprung gehen, da 0 + 0 + 0 = 0 eine richtige lösung ist!
wir geben also nun 2 geraden an, die sich beide beim ursprung schneiden und unterschiedlich sind. die ebene, die wir erhalten ist zB.: t * (-1 0 2) + s * (-1 2 0), wobei s,t jede reelle zahl annehmen können.
oft schreibt man dann dafür spann{(-1 0 2),(-1,2,0)} und sagt zu den beiden vektoren, dass diese die eigenvektoren sind, aber in wahrheit sind es nur 2 vektoren von unendlich vielen vektoren, aus denen man aber alle anderen berechnen kann.
@Melvissimo. Ich komme mit deinen Begriffen nicht so ganz klar.
Nach den mit geläufigen Definitionen hat die vorgelegte Abbildung einen zweidimensionalen Kern, aber einen eindimensionalen Eigenraum zum Eigenwert 2 (der den ersten Basisvektor enthält).
Kommentar deinerseits erwünscht.