ja, jedes Vorzeichen in K(x) dreht sich um, weil der ganze Funktionsterm von K(x) in Klammern steht:

G(x) = (105x) - (45x + 12000) = 105x - 45x - 12000

Hierbei steht die erste Klammer für E(x) und die zweite für K(x).

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Ist z^5+3 = 2, so gilt z^5 = -1. Wegen z^10 = 1 muss z daher eine zehnte Einheitswurzel sein. Es zwei Möglichkeiten: Entweder z ist eine primitive 10-te Einheitswurzel oder nicht.

Für den ersten Fall gibt es 4 Möglichkeiten, die du explizit hinschreiben kannst, siehe etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel

Im zweiten Fall ist z = -1, wie man durch ein gruppentheoretisches Argument sieht (man kann auch über die Anzahl der Nullstellen des Polynoms z^5 + 1 argumentieren).

Damit kennst du alle z, die die Gleichung lösen.

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Dezimal in irgendein anderes Zahlensystem benutzt die Division mit Rest, die du in der Grundschule gelernt hast.

Dezimal in binär:

  1. Teile deine Zahl durch 2 und schreibe den Rest auf (der Rest kann nur eine 0 oder 1 sein).
  2. Teile den neuen Quotienten durch 2 und schreibe wieder den Rest auf.
  3. Mach immer so weiter, bis der Quotient irgendwann 0 wird. Die Reste in umgekehrter Reihenfolge sind deine Zahl im Binärsystem.

Beispiel: Ich will 24 im Binärsystem darstellen. Ich rechne:

  • 24/2 = 12, Rest 0
  • 12/2 = 6, Rest 0
  • 6/2 = 3, Rest 0
  • 3/2 = 1, Rest 1
  • 1/2 = 0, Rest 1.

Daher ist 24 im Binärsystem gerade 11000.

Dezimal in Hexadezimal:

Dasselbe Verfahren, nur dass du durch 16 teilst statt durch 2. Für die Reste über 9 gilt: 10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E und 15 = F.

Beispiel:

  • 24/16 = 1, Rest 8
  • 1/16 = 0, Rest 1

Also ist 24 im Hexadezimalsystem gerade 18.

Binär in Dezimal:

  1. Nimm die letzte Stelle deiner Zahl
  2. Addiere das 2-fache der Stelle davor.
  3. Addiere das 4-fache der Stelle davor.
  4. Addiere das 8-fache der Stelle davor.
  5. Addiere das 16-fache der Stelle davor.
  6. ...

Zum Beispiel die Binärzahl 11000 ist in Dezimal:

0 + 2 * 0 + 4 * 0 + 8 * 1 + 16 * 1 = 8 + 16 = 24.

Hexadezimal in Dezimal:

Dasselbe wie bei Binär in Dezimal, nur dass du die Wertigkeit der Stellen nicht mehr verdoppelst sondern ver-16-fachst. Zum Beispiel 18 im Hexadezimalsystem ist im Dezimalsystem:

8 + 1 * 16 = 24.

Binär in Hexadezimal:

Teile deine Binärzahl in Stücke von 4 Ziffern auf, wobei du rechts anfängst. Übersetze jede Viererkette ins Dezimalsystem und dann ins Hexadezimalsystem. Schreibe die Zeichen dafür in derselben Reihenfolge auf.

Beispiel: 11000 = 1 1000 = 0001 1000.

0001 im Dezimalsystem ist 1. Das im Hexadezimalsystem ist auch 1.

1000 im Dezimalsystem ist 8. Das im Hexadezimalsystem ist auch 8.

Daher ist 11000 im Hexadezimalsystem gerade 18.

Hexadezimal in Binär:

Genau umgekehrt. Übersetze jedes Zeichen der Hexadezimalzahl in eine 4-stellige Binärzahl.

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Auf die Schnelle würde ich sagen, dass 16.5 cm die Höhe ist. Da es sich um einen Zylinder handelt, sollten "Länge und Breite" übereinstimmen. Ich schätze, dass 10.8 der Innendurchmesser und 11.2 der Außendurchmesser ist.

Aber falls es wirklich drauf ankommt, solltest du einfach den Verkäufer direkt fragen.

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Deine Lösungen stimmen, aber beim ersten Part ist die pq-Formel ein bisschen übertrieben:

x² - 5ax = 0 || ausklammern

x(x-5a) = 0 || Satz vom Nullprodukt

x = 0 oder x-5a = 0 || +5a

x = 0 oder x = 5a.

Ok, jetzt soll eine der Lösungen 6 sein. Da 0 nicht 6 ist, muss die zweite Lösung gleich 6 sein:

5a = 6

a = 6/5.

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Es scheitert schon am ersten Schritt, weil du bei der Klammerung einen Fehler gemacht hast:

1 - (n+1)² = 1 - (n² + 2n + 1) = 1 - n² - 2n - 1.

Die Folge ist allerdings wirklich streng monoton fallend.

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Erm... Wieso wurde aus wurzel(x^3) nach Quadrieren x^6? Das Quadrieren hebt einfach die Wurzel auf...

Unabhängig davon: Ja, die 6. Wurzel aus x^6 ist |x|.

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Es ist beides. Und das ganz ohne Quantenphysik, denn die beiden Zahlen stimmen überein:

Wäre das nicht der Fall, so wäre der Abstand zwischen 1 und 0,999... positiv. Das kann aber nicht sein, denn wenn du eine noch so kleine positive Zahl von 1 abziehst, wird immer eine Nachkommastelle der Differenz von 9 verschieden sein.

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Die Mantelfläche ist doch einfach der Flächeninhalt des Kreissektors?

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Man schreibt



falls der Grenzwert

endlich ist. Wenn du jetzt dein f(x) gegen die Taylorentwicklung im Punkt 0 ersetzt, ersetzt du dein a im Grenzwert gegen die 0, um die du entwickelst. Hier ergibt sich folgende Beobachtung:

Ist

 dann ist



Damit dieser Quotient gegen etwas endliches konvergieren kann, darf keiner der Exponenten negativ sein. Also muss der kleinste Exponent, dessen Koeffizient nicht 0 ist, mindestens alpha sein.

Im ersten Beispiel ist der kleinste solche Exponent gerade 0, denn 1 = 1 * x^0. Damit dennoch f(x) = O(x^alpha) gilt, muss also alpha = 0 sein.

So erkläre ich mir zumindest die Lösung; ich weiß noch nicht, wieso die O-Notation in diesen Fällen unabhängig vom a sein sollte.

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Eine lineare Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form y = mx + b, wobei m und b irgendwelche Zahlen sind.

Die Zahl m heißt auch Steigung. Die Zahl b ist der y-Achsenabschnitt, d.h. das ist die Höhe des Schnittpunktes der Geraden mit der y-Achse.

Falls m nicht 0 ist, so kann man die Gleichung mx + b = 0 lösen und damit den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnen.

Für deine Aufgaben: Bring die Gleichung erstmal in die Form y = mx + b und den Rest kannst du dann ablesen / berechnen.

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Ja, p = F/A und F = m * g. Mit den beiden Formeln kannst du leicht m berechnen.

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Wie lange braucht er für den ersten km?

Wie lange braucht er für den zweiten km?

Wie lange darf er insgesamt für die 3km brauchen, wenn seine Durchschnittsgeschwindigkeit 60km/h sein soll?

Wie viel Zeit hat er also für den letzten km übrig?

Wie hoch muss also seine Geschwindigkeit für den letzten km sein?

*Bonus*: Wer hat das Moped hergestellt das diese Geschwindigkeit erreichen kann? Mit der Person würde ich gerne ein paar Worte wechseln!

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Mit D bezeichne ich den Drehpunkt. Mit v bezeichne ich den Vektor von D nach P1. Mit w bezeichne ich den Vektor von D nach P2. Dann berechnet sich der Winkel alpha zwischen v und w vermöge



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Warum setzt du pi/2 in k(t) ein? Damit berechnest du die maximale Krümmung, aber die ist in der Aufgabenstellung ja nicht gesucht. t = pi/2 ist ein Zeitpunkt, an dem die Kurve g (=gamma) eine Stelle mit der größten Krümmung durchläuft. Gesucht ist daher nicht k(pi/2) sondern g(pi/2) = (a * cos(pi/2), b * sin(pi/2)) = (0,b).

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Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion keinen Wert hat (genauer: an der sie gar nicht definiert ist). Zum Beispiel die Funktion

hat eine Definitionslücke bei x = 1, weil man nicht durch 0 teilen darf.

Manchmal kann man so eine Definitionslücke loswerden, indem man den Funktionswert an der Stelle auf sinnvolle Art bestimmt. Etwa im obigen Beispiel sehen wir, dass f(1) = 2 durchaus gut in den Graphen reinpassen würde. In diesem Fall spricht man von einer stetig hebbaren Definitionslücke.

Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der die Funktion den Wert 0 annimmt. Da die Funktion dort definiert ist (sie hat den Wert 0), gibt es da auch nichts zu beheben.

Etwa im obigen Beispiel ist x = -1 eine Nullstelle. Da ist nichts zu fixen.

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Normalerweise schreibt man Mengen in geschweifte Klammern. Intervalle sind spezielle Mengen und werden für gewöhnlich in runde bzw eckige Klammern gesetzt. Eine runde Klammer bedeutet dann, dass die Intervallgrenze selbst nicht mehr in der Menge liegt. Beispiel:

 Diese Menge wird wie folgt ausgesprochen:

"Die Menge aller reellen Zahlen, die größer als -1 und kleiner als 1 sind", also einfach alle reellen Zahlen zwischen -1 und 1. In X liegen zum Beispiel die Zahlen 0, 1/2, -3/4, -0.99998 usw drin, aber nicht -1 oder 1 oder gar 2.

Die Vereinigung zweier Mengen ist jetzt die Menge, die alles enthält, was in irgendeiner der beiden Mengen liegt. Beispiel: In dieser Vereinigung liegen also alle Zahlen, die zwischen -1 und 1 oder zwischen 1 und 3 liegen. Wenn man unvorsichtig ist, könnte man nun versuchen zu schlussfolgern, dass

 gilt. Das ist aber falsch, denn 1 liegt im letzten Intervall drin, aber weder in X noch in Y! Daher gilt:



Der Durchschnitt zweier Mengen ist die Menge, die alles enthält, was in beiden Mengen liegt. Beispiel:

 In diesem Durchschnitt liegen alle zahlen, die sowohl zwischen -1 und 1 liegen, als auch zwischen 1 und 3. Eine solche Zahl gibt es nicht, denn wäre x eine solche Zahl, dann wäre einerseits x < 1, weil x in X liegt, aber auch x > 1, weil x in Y liegt, was ein Widerspruch ist. Daher ist dieser Durchschnitt die leere Menge:

 Jetzt, da du weißt, was Intervalle, Durchschnitte und Vereinigungen sind, solltest du in der Lage sein, auch die Menge

 auszurechnen, zumal wir den Teil in der Klammer schon kennen.

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