Eigenwerte berechnen, was mache ich falsch?
Hallo zusammen, ich hänge an Aufgabe d in der Umsetzung. Ich glaube ich löse die Aufgabe viel zu umständlich und möchte dies optimieren!
(Normal hätte man ca. 6 Minuten Zeit für diese Teilaufgabe)
Meine Idee:
Da es eine 3x3-Matrix ist, existieren exakt 3 Eigenwerte.
Ich kann zwei Gleichungen aufstellen:
Allgemein gilt ja bei 3 EW:
Nun würde ich ausmultiplizieren und erhalte ein Polynom 3. Grades. Theoretisch teile ich ja bei der Polynomdivision durch eine erratene Nullstelle. Dann könnte ich doch in der Gleichung hier durch (α+3) direkt teilen und hätte:Daraus würde ja folgen:
Aus den obigen Gleichungen könnte ich einsetzen:
eingesetzt folgt:
Mit der Mitternachtsformel:
2 Antworten
Ich kann zwei Gleichungen aufstellen:
Das ist es doch schon fast:
alpha + 3 + lambda 2 + lambda 3 = 5 alpha + 6
--> lambda 2 + lambda 3 = 4 alpha + 3
(alpha + 3) * lambda 2 * lambda 3 = 12 alpha ( alpha + 3)
--> lambda 2 * lambda 3 = 12 alpha
Kann man die Lösung direkt ablesen.
(I) spurA = 5a+6 = (a+3) + λ2 + λ3
(II) detA = 12a*(a+3) = (a+3) * λ2 * λ3
###
(I) 4a + 3 = λ2 + λ3
(II) 12a = λ2 * λ3
###
(I) λ2 = 4a + 3 - λ3
eingesetzt in (II)
(II) 12a = (4a + 3 - λ3) * λ3
(II) (4a + 3) * λ3 - λ3² - 12a = 0
Lösung 1: λ3 = 3 -> λ2 = 4a
Lösung 2: λ3 = 4a -> λ2 = 3
Danke für deine Antwort.
Wie liest du das direkt ab? Ich hätte jetzt nämlich eine der beiden Gleichungen nach einem Lambda umgestellt und dann in die andere Gleichung eingesetzt...