Eigenwerte berechnen, was mache ich falsch?

Hallo zusammen, ich hänge an Aufgabe d in der Umsetzung. Ich glaube ich löse die Aufgabe viel zu umständlich und möchte dies optimieren!
(Normal hätte man ca. 6 Minuten Zeit für diese Teilaufgabe)

Meine Idee:
Da es eine 3x3-Matrix ist, existieren exakt 3 Eigenwerte.
Ich kann zwei Gleichungen aufstellen:
$Sp=λ_1+λ_2+λ_3=\left(α+3\right)+λ_2+λ_3$ $\det=λ_1\cdotλ_2\cdotλ_3=\left(α+3\right)\cdotλ_2\cdotλ_3$

Allgemein gilt ja bei 3 EW: $\left(x-λ_1\right)\left(x-λ_2\right)\left(x-λ_3\right)=0$ $bzw.\ \left(α+3\right)\left(x-λ_2\right)\left(x-λ_3\right)=0$
Nun würde ich ausmultiplizieren und erhalte ein Polynom 3. Grades. Theoretisch teile ich ja bei der Polynomdivision durch eine erratene Nullstelle. Dann könnte ich doch in der Gleichung hier durch (α+3) direkt teilen und hätte: $\left(x-λ_2\right)\left(x-λ_3\right)=0\ \ ?$ Daraus würde ja folgen:
$x^2-\left(λ_2+λ_3\right)x+λ_2λ_3=0$ Aus den obigen Gleichungen könnte ich einsetzen:
$λ_2+λ_3=Sp-\left(α+3\right)=\left(5α+6\right)-\left(α+3\right)=4α+3$ $λ_2λ_3=\frac{\det}{\left(α+3\right)}=\frac{12α^2+36α}{\left(α+3\right)}=12α$ eingesetzt folgt:
$x^2-\left(4α+3\right)x+12α=0$ Mit der Mitternachtsformel: $x_1=3,\ x_2=4α$

Answer 1

[eterneladam]

Ich kann zwei Gleichungen aufstellen:

Das ist es doch schon fast:

alpha + 3 + lambda 2 + lambda 3 = 5 alpha + 6

--> lambda 2 + lambda 3 = 4 alpha + 3

(alpha + 3) * lambda 2 * lambda 3 = 12 alpha ( alpha + 3)

--> lambda 2 * lambda 3 = 12 alpha

Kann man die Lösung direkt ablesen.

Comments

[Sheeeeesh2]

Danke für deine Antwort.

Kann man die Lösung direkt ablesen.

Wie liest du das direkt ab? Ich hätte jetzt nämlich eine der beiden Gleichungen nach einem Lambda umgestellt und dann in die andere Gleichung eingesetzt...

[eterneladam]

@Sheeeeesh2

Geht auch ...

Answer 2

[Rammstein53]

(I) spurA = 5a+6 = (a+3) + λ2 + λ3

(II) detA = 12a*(a+3) = (a+3) * λ2 * λ3

###

(I) 4a + 3 = λ2 + λ3

(II) 12a = λ2 * λ3

###

(I) λ2 = 4a + 3 - λ3

eingesetzt in (II)

(II) 12a = (4a + 3 - λ3) * λ3

(II) (4a + 3) * λ3 - λ3² - 12a = 0

Lösung 1: λ3 = 3 -> λ2 = 4a

Lösung 2: λ3 = 4a -> λ2 = 3