Welche Methode um Nullstellen zu berechnen?
Hey,
wir hatten in der Schule jetzt schon verschiedene Methoden um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen.
Soweit ich weiß Polynomdivision, Mitternachtsformel, systematisches erraten, Satz von Vieta, bei quadratischen Funktionen die Funktion = 0 setzen usw.
Aber woher weiß ich genau was ich nehmen muss?
Ich fasse mal kurz zusammen was ich glaube zu wissen :D
Mitternachtsformel kann man nur anwenden wenn sie eine bestimmte Form hat (Erster Faktor Grad 2, 2. Grad 1 und der 3. Faktor ohne Variable)
Der Satz von Vieta kann das ganze sozusagen abkürzen
Und Polynomdivision wenn am Ende des Polynoms ein Faktor ohne Variable steht, und man sich das systematische erraten "sparen" will
Stimmt das so halbwegs?
LG
5 Antworten
pq-Formel, Mitternachtsformel, Satz von Vieta -->
- nur auf Polynome zweiten Grades anwendbar
Polynomdivision -->
- Man muss bereits Nullstellen kennen um Linearfaktoren abspalten zu können
Das Problem mit den meisten Schulaufgaben ist, dass sie häufig derart simpel sind, dass man Nullstellen genauso gut mit einer einfachen Wertetabelle gefunden hätte.
Hier mal was ganz anderes :
f(x) = x ^ 3 - 6.428 * x ^ 2 + 13.483 * x - 9.24991
Das lässt sich nicht mit pq-Formel und Konsorten berechnen (mit Lösungformeln speziell für den Grad 3 will ich hier gar nicht erst anfangen) und eine Nullstelle raten um eine Polynomdivision durchzuführen wird auch schwierig.
Für so etwas kann man unter anderem das Newton-Verfahren anwenden, auch zum Beispiel dann, wenn die Funktion überhaupt gar kein Polynom ist.
Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren, und es gibt auch noch andere Iterationsverfahren.
Die Mitternachtsformel klappt nur bei quadratischen Gleichungen, genauso auch der Satz von Vieta.
Polynomdivision erfordert das Erraten von einer Nullstelle (man teilt dann das Polynom durch (x-x0), wobei x0 die erratene Nullstelle) und wird ab Grad 3 notwendig, denn für Grad 2 haben wir ja die Mitternachtsformel.
Wenn kein konstantes Glied auftaucht (also kein Glied ohne x), kann man auch x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt verwenden, das klappt für Polynome mit beliebigem Grad.
Nicht ganz. Mitternachts- und pq-Formel gehen nur
bei quadratischen Funktionen, dafür aber bei allen.
Bei höheren Graden muss man immer eine Nullstelle
erraten. Manchmal ist das einfach, z. B.
4x³ + 3x² + 6x
manchmal nicht so einfach, z. B.
4x³ + 3x² + 6x -8
Die erratene Nullstelle x0 braucht man für
die Polynomdivision, denn man muss durch
(x-x0) dividieren.
Es gibt nur eine einzige Methode der Nullstellenbestimmung, die Funktion 0 zu setzen! Nur bei einer höhergradigen bekommt man nicht sofort die Nullstellen heraus, deshalb gibt es verschiedene Vorgehensweisen wie die restlose Polynomdivision mit erraten der 1. Nullstelle, den Satz von Vita, die pq-Formel bzw. Scheitelpunktform usw.
Ich habe die Mitternachtsformel immer benutzt, wenn die Funktion in der Normalform stand. In der Scheitelpunktsform hab ich dann immer die pq-Formel benutzt.