Wie funktioniert der Satz von Vieta?
Hey Mathe-Freunde ;)
ich schreibe morgen eine Mathearbeit (bin auf dem Gymnasium, 9. Klasse) über das Thema Nullstellen, quadratische Funktionen usw. Ein Thema dabei ist noch der Satz von/des Vieta.
Ich habe mir dazu notiert:
Eine Funktion der Form
f(x)= x²+px+q haben die NS (Nullstellen) x1 und x2.Dann gilt: p=x1-x2 , q= x1*x2 und umgekehrt.
Wir haben dazu keine Übungsaufgabe gerechnet und ich verstehe diesen Satz einfach nicht :/ Kann mir jemand diesen Satz anhand eines einfachen Beispiels erklären?
4 Antworten
Sagen wir die die Funktion:
f(x) = x ²- 5x + 6
x ² - 5x + 6 = 0
p = -5
q = 6
mit pq-Fotrmel gelöst ergibt sich x1 = 2 und x2 = 3
also x1 + x2 = 2 + 3 = 5
x1 *x2 = 2 * 3 = 6
Satz von Vueta sagt:
p = - (x1 + x2)
und q = x1 * x2
also p= - (2 + 3) = - 5
uind q = 2 * 3 = 6
Vosricht aslo das mi p hattest Du ein wenig verdreht gehabt..
p ist also die Summe der Nullstellen * (-1)
und q ist das Produkt der Nullstellen.
Wenn wir also beide Nulstellen kennen, können wir demanch die Gleichung (nicht ganz die Funktion aber mindestens dieFunktion der verscobenen Normalparabel) schreiben.
Ja, zur Probe der Lösung!
Der Satz von Vieta ist eigentlich mehr gedacht als Hilfe und erweiterbar für Gleichungen höheren Grades 3, 4, 5, wenn man mit p,q -Formel oder ähnlicheer Formel gar nicht lösen kann.
quatsch..der satz ist dazu da die lösungen von einfachen quadratischen gleichungen "durch hinschauen" zu lösen, so dass man die pq formel nicht braucht. für gleichungen höheren grades ist der satz weitestgehend nutzlos, da er dort auch komplexer wird. man verwendet dann näherungsverfahren wie newton oder intervallhalvierung etc
wie es funktioniert hat HeniH gut beschrieben.
nutzen ist nicht der beweis der korrektheit der pq formel oder der lösungen dieser.
man kann unter zuhilfenahme des satzes ganzzahlige nullstellen "durch hinschauen" bestimmen, ohne dass man die pq formel überhaupt nutzen muss. dazu schaut man sich einfach die prinfaktorzerlegung von q an und schaut dann, ob/wie sich p daraus summieren lässt. mit etwas übung kann man so (ganzzahlige) nullstellen innerhalb von 1-2 sekunden bestimmen ohne die pq formel nutzen zu müssen.
leider ist die primfaktorzerlegung und die linearfaktorzerlegung nicht so meins. -.-
dann solltest du dir das aneignen, es ist echt praktisch, wenn man einfache quadratische gleichungen in 2 sec durch hinschauen lösen kann und nicht jedesmal pq formel braucht
und noch ein problem: wo ist der unterschied zwischen der pq-Formel und dem Satz von Vieta??
Genau mein letzter Satz bei Antwort 1:
Wenn wir also beide Nulstellen kennen, können wir demnach die Gleichung (nicht ganz die Funktion aber mindestens die Funktion der verschobenen Normalparabel) schreiben.
Wir wissen also daß ein Funktion die Nullstellen 2 und 5 hat.
das heißt
p = - (2 + 5) = -7
q = 2 *5 = 10
Die Gleichung die wir zur Lösung hatten ist also
x² -7x + 10 = 0
und die Funktion der Normalparabel
f(x) = x² -7x + 10
was wir nicht wissen ist wieviel der Koefizient von x ² ist,
der ist bei der Normalparabel immer 1.
Der Satz ist zum Verfizieren deiner Lösung, also x1 und x2
also ist der Satz von Vieta quasi ein Beweis für die Lösungen bei der pq-Formel, wenn ich das richtig verstanden habe? Weil du hast ja gerade mit der pq-Formel x1 und x2 ausgerechnet und dies mit dem Satz von Vieta bewiesen, richtig? ..