Woher weiß man wie viele Nullstellen eine Funtion hat?

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5 Antworten

Polynome n-ter Ordnung können maximal n Nullstellen haben. Beispiel f(x) = ax^2+bx+c hat maximal 2 Nullstellen.

Periodische Funktionen können unendlich viele Nullstellen haben. Beispiel f(x)=sin(x).

Exponentialfunktionen haben keine Nullstelle. Beispiel f(x)=e^x.

Logarithmusfunktionen haben eine Nullstelle. Beispiel f(x)=ln(x).

usw.

Wenn es Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) sind, dann entspricht die höchste Potenz der maximalen Anzahl der Nullstellen.

Also lineare Funktionen [ f(x)=ax+b) ] haben 0 oder 1 Nullstelle
Quadratische Funktionen [ f(x)= ax²+bx+c ] haben 0 oder 1 oder 2 Nullstellen
Funktionen 3. Grades [ f(x)=ax³+bx²+cx+d ] haben maximal 3 Nullstellen
Funktionen n. Grades haben maximal n Nullstellen.

Wieviele Nullstellen es tatsächlich gibt, das siehst du,
► wenn du den Graphen zeichnest,
► oder wenn du die Nullstellen ausrechnest, also f(x)=0 setzt und alle x ausrechnest, die das erfüllen.

Bsp:
● f(x)=x²+1 das ist die Normalparabel um 1 nach oben verschoben, hat keine Nullstelle, weil sie komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
Die Gleichung 0=x²+1, also x²=-1 hat keine reelle Lösung.

● f(x)=x² hat 1 (doppelte) Nullstelle, da berührt der Graph die x-Achse. Die Gleichung 0=x² hat nur 1 Lösung: x=0

● f(x)=x²-1 das ist die Normalparabel um 1 nach unten verschoben, die schneidet die x-Achse 2-mal, also 2 Nullstellen.
Die Gleichung 0=x²-1, also x²=1 keine 2 Lösungen: x=+1 und x=-1

Noch Fragen?

Ich vermute, dass es um Polynomfunktionen geht. Dann gilt:  die Anzahl der Nullstellen ist höchstens gleich dem Grad der Funktion (Grad = höchster Exponent von x im Polynom).

Ferner hat z.B. jede Polynomfunktion mit ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle.

ilovekatzi 02.07.2017, 13:01

Okay Dankeschön! Dann weiß ich jetzt schonmal wie viele Nullstellen es höchstens geben kann. Aber woher weiß ich dann wie viele es wirklich gibt? Also wenn jetzt ^3 z.B ist, dann gäbe es ja höchstens 3 Nullstellen oder? Aber jetzt könnte es ja auch sein dass es nur 2 gibt..wie find ich das raus? 

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rumar 02.07.2017, 13:13
@ilovekatzi

Falls es etwa eine leicht zu findende Nullstelle gibt (wie sehr oft in Schulbuchbeispielen), kann man dann Polynomdivision anwenden und kommt zu einer quadratischen Gleichung, die sich mittels Formel lösen lässt.

Andernfalls kann man eine kurze Kurvendiskussion durchführen. Kennt man die Extrempunkte einer kubischen Funktion, kann man sich mittels einer Skizze sofort auch die Anzahl und die ungefähre Lage möglicher Nullstellen klar machen. Gibt es keine Extremalpunkte, ist die kubische Funktion streng monoton und hat genau eine einzige Nullstelle.

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Nähere Informationen über die mögliche Anzahl von reellen Nullstellen liefert die Regel von Descartes:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenregel_von_Descartes

"Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese, wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird."

an der Höhe des höchsten Noms... also bei x^4 werden es max 4 sein in R in C können es mehr sein... und dann noch am Monotoniverhalten und an dem wert für f(x) der sein Vorzeichen vor und nachher ändert... so würde ich da heran gehen 

rumar 02.07.2017, 13:15

Auch in der Menge C der komplexen Zahlen hat ein Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen !

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ralphdieter 02.07.2017, 14:10
@rumar

Und wenn man die Vielfachheit von Nullstellen berücksichtigt, für n>0 sogar genau n Nullstellen :-)

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rumar 02.07.2017, 17:01
@ralphdieter

Ist mir natürlich auch klar, aber ich wollte eben keinen solchen Begriff wie "Vielfachheit von Nullstellen" zusätzlich in diese einfache Betrachtung einbringen !

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