NICHT invertierbare Matrizen finden?
Hey Leute,
ob eine 3x3 Matrix invertierbar ist oder nicht, finde ich ja herraus durch Betrachtung ob es quadratisch ist und ob die Determinante ungleich Null ist.
Wie kann ich eine NICHT invertierbare 3x3 Matrix OHNE herumzuprobieren finden?
Ich meine, ich könnte beliebig Zahlen finden und anschließend mit der Sarrus Regel die Determinate ermitteln, aber es gibt doch sicherlich einen effizientern Arbeitsweg ;)
Schon mal vielen Dank im Voraus
2 Antworten
Es gibt mehrere zueinander äquivalente Bedingungen, wann eine Matrix über einem Körper invertierbar ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Reguläre_Matrix#Reguläre_Matrizen_über_einem_Körper
Da findest du unter anderem auch die von dir erwähnte Bedingung: „Die Determinante der Matrix ist ungleich null.“
Um einfach eine nicht-invertierbare 3×3-Matrix zu finden, würde ich einfach dafür sorgen, dass die Bedingung „Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.“ bzw. die Bedingung „Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.“ verletzt ist.
Du könntest zwei beliebige Zeilen vorgeben und dann als dritte Zeile eine Linearkombination dieser beiden Zeilen verwenden (beispielsweise einfach die beiden Zeilen addieren und als dritte Zeile verwenden, oder einfach eine der beiden Zeilen auch als dritte Zeile verwenden, oder eine Nullzeile reinbringen).
Beispielsweise könnte man (1, 2, 3) und (4, 5, 6) als die ersten beiden Zeilen verwenden und dann (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9) als dritte Zeile verwenden.
Beispielsweise könnte man (1, 2, 3) und (4, 5, 6) als die ersten beiden Zeilen verwenden und dann (1, 2, 3) nochmal als dritte Zeile verwenden.
Beispielsweise könnte man (1, 2, 3) und (4, 5, 6) als die ersten beiden Zeilen verwenden und dann eine Nullzeile (0, 0, 0) als dritte Zeile verwenden.
Klar, verwende eine Matrix bei der die lineare Abhängigkeit der Zeilenvektoren offensichtlich ist. Z.B. erste Zeile drei mal 1, zweite Zeile drei mal 2, dritte Zeile völlig beliebig. Dann sind die erste und zweite Zeile linear abhängig und die Matrix daher nicht invertierbar.