Obere Dreiecksmatrix invertierbar, genau dann wenn Produkt der Diagonaleinträge nicht null ist?
Kann mir jemand den Beweis liefern, dass eine obere Dreiecksmatrix invertierbar ist, genau dann wenn das Produkt der Diagonalelemente a_11...a_nn nicht null ist.
Ich weiß, dass das Produkt gleich der Determinante ist und wenn die nicht null ist, die Matrix invertierbar ist. Dies darf ich aber beim Beweis nicht nutzen und weiß deshalb nicht wie ich es sonst machen soll. Hoffe ihr könnt mir helfen
4 Antworten
Hi,
Sei A eine (nxn)-Dreiecksmatrix.
Du könntest mit dem Kern von A argumentieren.
Nach der Wahl einer Basis eines n-dimensionalen reellen Vektorraums V können wir A mit der zugehörigen linearen Abbildung identifizieren.
Sei X ein Vektor, (x1;x2;...;xn) seine Komponenten bzgl. der Basis.
Ich hoffe, du darfst folgenden Satz verwenden:
A ist invertierbar <=> Kern A = {0} (0 = Nullvektor)
1. Richtung: Sei Produkt a_ii ≠ 0 (i=1,..,n)
Löse das lineare Gleichungssystem AX = 0
Aus der Vorraussetzung folgt x1 = x2 = ... = xn = 0, d.h. Kern A = {0}, also A invertierbar.
2. Richtung: Sei A invertierbar. Zu zeigen: Produkt a_ii ≠ 0
A invertierbar, d.h. Kern A = {0}
Annahme Kern A = {0} und Produkt a_ii = 0, daraus folgt Widerspruch.
Also Produkt a_ii ≠ 0.
Das wäre eine Argumentation in groben Zügen.
Gruß
Hier mach Nägel mit Köpfen. Du krallst dir jetzt den Kowalsky oder Greub ( Es steht jeweils in Band 2 ) Und dann lernst du ===> Elementarteiler; ich wäre dir auch bei behilflich. Da haste was Fundiertes.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit befinde sich der Teil der Dreiecksmatrix welcher nicht Null sein soll oberhalb der Hauptachse.
Wende nun den Laplace´schen Entwicklungssatz für die Determinante an, entwickle dabei nach der ersten Spalte:
--> det D = d_11*det D´ mit Streichmatrix D´
alle anderen Summanden fallen aufgrund der Nullen weg.
Analog setzen wir dann fort und erhalten:
det D´ = d_22* det D´´
Setzen wir dies beliebig lange fort, bis wir bei der kleinsten Streichmatrix angekommen sind, so erhalten wir:
--> det D = d_11 * det D´ = d_11 * d_22 * det D´´ = d_11 * ... * d_nn
Somit entspricht also die Determinante dem Produkt der Hauptdiagonalelemente.
Benutze schließlich den Satz von Cramer, dieser besagt, dass gilt:
D^-1 = (1/(det D)) * (cof D)^T = (1/(det D)) * adj( D )
Damit folgt, dass eine Matrix invertierbar ist genau dann wenn ihre Determinante nicht verschwindet.
Wir folgern damit hier also:
det D = d_11 * ... * d_nn muss ungleich 0 sein für Invertierbarkeit.
Mehr Informationen zu den verwendeten Sätzen findet sich hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz
https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel
Danke, aber den Entwicklungssatz hatten wir noch nicht, deshalb darf ich den wahrscheinlich auch nicht benutzen:/
Ich würde einfach explizit zeigen, dass sie bijektiv ist.