Gibt es einen Trick bei der Matrixmultiplikation?
Hallo allerseits.
Ich bin gerade auf der Suche nach einer einfacheren Lösung für folgende Aufgabenstellung.
Die Matrizen A und B seine als n×n Matrizen fest vorgegeben. Zu bestimmen ist nun eine Matrix C, sodass C*A=B gilt. Über die Invertierbarkeit der Matrizen sind keine Informationen gegeben.
Mein Ansatz wäre es jetzt gewesen, die Einträge der Matrix C einfach mit Variablen zu belegen. Anschließend könnte ich ein lineares Gleichungsystem aufstellen und die Variablen ermitteln.
In meinem Fall sind die Matrizen A und B (und somit dann auch C) 3×3-Matrizen. Das heißt, ich hätte bereits hierfür ein LGS mit 9 Gleichungen. Für größere Matrizen scheint meine Lösung also schon sehr ineffizient zu sein. Ich suche deshalb nach einer Lösung, die auf ein LGS verzichten kann. Allerdings komme ich hierbei nicht wirklich weiter. Selbst wenn bekannt wäre, welche Matrizen invertierbar sind, schaffe ich es nicht, C auf einer Seite der Gleichung zu isolieren.
Oder darf ich die Inverse zu A (insofern A invertierbar ist) auch "von rechts multiplizieren"? Also nach dem Schema
C*A=B
C*A*A'=B*A'
C=B*A'
Angenommen A wäre invertierbar, dann müsste die Gleichung doch auch so stimmen, da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.
Aber spätestens dann, wenn A nicht invertierbar ist, geht auch dieses Konzept nicht mehr auf.
Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand eine Idee hätte, wie ich diese Aufgabe einfacher und eleganter lösen könnte.
1 Antwort
Letztlich kommst du glaube ich nicht drum herum, ein LGS aufzustellen und das zu lösen - oder eben festzustellen, dass es nicht lösbar ist.
Ich würde erstmal den Kerne von A und B bestimmen und sicherstellen, dass die gleich sind. Wenn die nicht gleich sind, gibt es keine Lösung der Aufgabe. (1)
Dann würde ich die Basis wechseln, so dass B eine Block-Gestalt annimmt (2):
E B E' = (B* 0; 0; 0)
(E: Basiswechselmatrix; die Matrix auf der rechten Seite hat vier Elemente: oben links die Matrix B*, die restlichen drei Matrizen sind Nullmatrizen)
A sollte mit dem gleichen Basiswechsel auch Blockgestalt annehmen (3). Dann kannst du die Aufgabe
C' A' = B'
mit invertierteren Matrizen A' und B' lösen (4), indem du von rechts mit der Inversen von A' multiplizierst.
Für die übrigen Werte von C kannst du dann beliebige Werte einsetzen (5).
Das ist natürlich nur eine Beweisskizze. Du musst dir bei den Punkten (1)-(5) jeweils überlegen, warum das korrekt ist.
Danke für deine Antwort. Das muss ich mir mal in Ruhe anschauen, da waren jetzt doch noch einige Begriffe dabei, die mir neu sind.