Sind diese Aussagen wahr oder falsch?
Sind diese Aussagen wahr oder falsch?
a) Ein LGS mit drei Variablen und zwei Gleichungen kann keine eindeutige Lösung besitzen.
b) Hat ein LGS mit zwei Variablen und drei Gleichungen eine eindeutige Lösung, so kann man in der Matrixform durch Äquivalenzumformungen eine Zeile erzeugen, die nur Nullen enthält.
c) Ein LGS mit vier Variablen und drei Gleichungen besitzt immer unendlich viele Lösungen.
Kann jemand begründen welche Aussagen wahr/falsch sind? ich denke nur a und b ist wahr...
4 Antworten
Ein Gegenbeispiel zu c) habe ich dir schon gezeigt
Die Richtigkeit einer Behauptung kann man nicht durch Beispiele beweisen, man könnte ja auch ein Gegenbeispiel übersehen haben.
Zu a)
Es gibt eine eindeutige Lösung genau dann, wenn die Anzahl der Variablen dem Rang entspricht. Bei zwei Gleichungen und drei Variablen ist der Rang (2) immer kleiner als die Anzahl der Variablen (3). Es kann also keine eindeutige Lösung geben.
Zu b) Der Rang ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen der reduzierten Zeilenstufenmatrix. Wenn es also bei zwei Variablen eine eindeutige Lösung gibt, ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen genau 2. Das heißt, dass die dritte Zeile eine Null-Zeile ist.
vgl.: https://www.mathebibel.de/loesbarkeit-linearer-gleichungssysteme
zu a) ...............wenn man unter "keine eindeutige Lösung" <<<keine Lösung>>> versteht dann ja . ...........................keine Lösung ist aber auch eine eindeutige Lösung ................
Normalerweise wird aber : keine , eine , unendlich unterschieden
.
ich wähle x = 1 und y = 2 und bastele mir diese drei ::::
x + y = 3
2x - 2y = -2
3x + y = 5
.
.
Matrix
1 1 3
2 -2 -2
3 1 5 ..........I*-1 zu III
:::
1 1 3
2 -2 -2
2 0 2 ..........I*2 zu II
:::
1 1 3
4 0 4
2 0 2
........Bingo
III * -2 zu II
1 1 3
0 0 0
2 0 2
.
.
Kontrollrechnung
x + y = 3
2x - 2y = -2
3x + y = 5
3x + 3 - x = 5
2x = 2
x = 1
Eindeutig ( sagt auch Bruder Wolfram )
"keine eindeutige Lösung" heißt entweder "überhaupt keine Lösung" oder "mehr als eine Lösung". Lösung ist die Belegung der Variablen mit Werten, so dass sich wahre Aussagen ergeben.
keine Lösung ist aber auch eine eindeutige Lösung
Bezeichne das lieber als "Ergebnis des Lösungsversuchs" und halte dich an die mathematische Definition des Begriffs "Lösung". Das verwirrt nur. Ich würde mich bei einer Klausur auf keine Diskussion einlassen.
Die aussagen a und b sind korrekt, aber die aussage c ist falsch, Wenn die anzahl der Gleichungen in einem LGS weniger als die anzahl der Variablen ist, dann kann es mehr als eine mögliche lösung geben Wenn die anzahl der Gleichungen größer als die anzahl der Variablen ist, muss aber nicht unbedingt eine eindeutige lösung geben, aber es ist möglich
- a+b+c+d = 1
- a+b+c+d = 2
- a=1
- b=2
Da sich die ersten beiden Zeilen widersprechen, gibt es keine Lösung, geschweige denn unendlich viele.
Könnte man a und b auch mit Beispielen belegen?..
Aber woher weiß ich dann ob die Aussage stimmt.. wenn ich kein Beispiel dafür angebe..
Problem : du kannst auch mehr als ein Beispiel angeben : reicht nicht , um das zu beweisen ................Das ist das gute an Gegenbeispielen : Damit ist alles vom Tisch.
Mit Rang kannst du wohl noch nix anfangen , aber solche Hilfsmittel braucht man , um e c h t zu beweisen .
Mit Rang kannst du wohl noch nix anfangen , aber solche Hilfsmittel braucht man , um e c h t zu beweisen .
Macht man normalerweise in der Oberstufe und zwar genau dann, wenn es um die Lösbarkeit von LGS geht, die man mit Hilfe von Matrizen löst. Der Begriff ist ja nicht so schwierig zu lernen, es ist einfach die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen der reduzierten Stufenmatrix.
a) musst du eigentlich noch einschränken, siehe stumpfe Beispiele wie:
1/x*x+y+z=2
2y+5z=4
1/x*x meinst du damit 1/x² oder 1 (so dass x wegfällt)?
In beiden Fällen wäre es kein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen.
So dass dann x beliebig ist, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen (und nicht eine eindeutige)
Könntest du mir ein Gegenbeispiel für c geben?:)