Inverse einer Matrix mittels Partitionierung?
Hallo,
folgendes Problem: Ich sollte, wie im Bild beschrieben, die Inverse folgender Matrix M mittels Aufteilung der Matrix in Teilmatrizen lösen.
Hier war mein Ansatz, als Teilmatrix A, die 4x4 Matrix von m11 bis m44 zu nehmen. B wäre dann m15 bis m45 als 4x1 Matrix. C wäre das Komplement zu B, also fast die ganze untere Reihe (m51 bis m54) und D wäre m55 = 1
Mein Problem ist jetzt aber, dass ich zwar die Inversen der Teilmatrizen A und D bilden kann, dies aber nicht bei B und C der Fall ist, da es sich hier ja nicht um quadratische- oder Nullmatrizen handelt.
Allersings sehe ich auch keine andere Aufteilung, da eine 5x5 Matrix ja nicht wirklich in 4 quadratische Matrizen aufgeteilt werden kann, es sei denn man hätte Teilmatrizen, die nur aus Nullen bestehen, was hier aber nicht möglich ist.
Kann mir jemand helfen, wie ich das löse oder mir sagen, wo mein Denkfehler ist?
Vielen Dank!
2 Antworten
Man zerlegt die Matrix in vier Matrizen mit
P = | A B |
| C D |
Im konkreten Fall wähle ich A als 3x3 und D als 2x2 Matrix (geht auch anders, falls A und D quadratisch sind)
A = | 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
D = | 1 0 |
| 0 1 |
B = | 0 1 |
| 0 1 |
| 0 1 |
C = | 0 0 0 |
| 1 1 1 |
Sei i(M) die Inverse von M. Man berechnet
X = i(D - C*i(A) * B)
X = 1/2 * | 2 0 |
| 0 -1 |
A' = i(A) + i(A)*B*X*C*i(A)
A' = 1/2 * | 1 -1 -1 |
| -1 1 -1 |
| -1 -1 1 |
B' = -i(A)*B*X
B' = 1/2 * | 0 1 |
| 0 1 |
| 0 1 |
C' = -X*C*i(A)
C' = 1/2 * | 0 0 0 |
| 1 1 1 |
Nun gilt:
i(P) = | A' B'|
| C' X |
i(P) = 1/2 * | 1 -1 -1 0 1 |
| -1 1 -1 0 1 |
| -1 -1 1 0 1 |
| 0 0 0 2 0 |
| 1 1 1 0 -1 |
Und tatsächlich gilt P*i(P) = E
Die Invertierung einer Blockmatrix sieht kompliziert aus
aber die Inversen der beiden Nebenmatrizen werden nicht benötigt und wenn man hier konkrete Blöcke einsetzt dürfte das relativ einfach in sich zusammen fallen.
Die Blöcke wären die 4x4 (A) und die 1x1 Einheitsmatrix (D) sowie die 4x1 (C) und 1x4 (B) Vektoren die nur aus der 1 bestehen.