Was ist eine Matrix?
Habe ich das Richtig verstanden: „Unter einer Matrix versteht man eine rechteckige Tabelle von Elementen mathematischer Objekte, welche lineare Zusammenhänge übersichtlich darstellt und damit Rechenvorgänge erleichtert.“ ?
5 Antworten
Formal ist eine Matrix nur ein mathematisches Objekt. Anwendungs- und Interpretationsmöglichkeiten stehen auf einem anderen Blatt. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Matrizen zu definieren - eine davon ist die von Piddle genannte, eine andere ist Folgende:
Eine (reelle) n x m-Matrix ist ein Element aus der Menge
der n x m-Matrizen. Mit anderen Worten: Eine reelle n x m-Matrix ist ein m-dimensionaler Vektor, dessen Komponenten reelle n-dimensionale Vektoren sind. Zur Vereinfachung lässt man überschüssige Klammern in aller Regel weg.
Wenn wir also von der Matrix
sprechen, sprechen wir eigentlich vom Vektor
bestehend aus zwei 3-dimensionalen Vektoren, dessen innere Klammerung wir der Einfachheit halber allerdings weggelassen haben.
Intuitiv kann man sich eine n x m-Matrix aber durchaus als Tabelle mit n Zeilen und m Spalten vorstellen. Das genügt allerdings nicht als Definition, da der Begriff Tabelle formal a priori nicht klar ist.
Ein Speibiel aus der Schule : Drei Gleichungen , drei Unbekannte :
2x + 2y + z = 5
x + y = 5
2x + y + 2z = 5
werden als Matrix so geschrieben
2 2 1 5
1 1 0 5
2 1 2 5
diese Matrix kann man durch Mathematische Operationen ( Rechnen ) (nennt sich Gauss - Verfahren ) so "hinbiegen" ,dass
1 1 0 5
0 1 0 -5
0 0 1 -5
entsteht . Nun kann man schon aus der letzten Zeile 1z = -5 ablesen , z ist somit -5
(y und x sind dann auch kein Problem mehr )
.
Des weiteren kann man schon aus der Matrix erkennen , wie viele Lösungen es gibt .
in den Sozialwissenschaften ( z. B. ) Psychologie braucht man dann sowas , wenn man versucht menschliches Verhalten "vorherzusagen"
.
Nein, das ist die Angabe einer Schreibweise. Eine Matrix ist aber ein mathematischer Gegenstand. Am besten definiert man zu gegebenen natürlichen Zahlen m,n und zu einer Menge M, was eine (mxn)-Matrix über M ist: Das ist nämlich eine Abbildung
{1,...,m}x{1,...,n} --> M.
Als Schreibweise dafür ist es in der Tat üblich und sehr häufig sinnvoll, so eine Abbildung durch ein rechteckiges (mxn)-Schema wiederzugeben, wobei man an der Stelle (i,j) des Schemas das Bild des Pärchen (i,j) unter der obigen Abbildung hinschreibt.
Die gesamte Abbildung wird dabei also durch die Angabe aller mn Bildelemente in M geschrieben, jedes an "seiner" wohlbestimmten Position.
Zum Beispiel bezeichnet
2 3 6
4 2 1
die Abbildung (1,1) --> 2, (1,2) --> 3, (1,3) --> 6, (2,1) --> 4, (2,2) --> 2, (2,3) --> 1. Üblich ist es allerdings, das Schema der Elemente mit zwei großen runden Klammern einzufassen.
Auf diese Weise ordnet sich der Matrixbegriff dem Abbildungsbegriff unter und nimmt daher einen wohlbestimmten Platz im Aufbau der mathematischen Begriffswelt, ausgehend vom Mengenbegriff, ein.
Gute Schreibweisen sind wichtig, aber sie können natürlich nicht begriffliche Definitionen ersetzen.
Das (i,j)-Element einer Matrix (d.h. also das Bild von (i,j) unter der Abbildung) gibt man in aller Regel in der Form eines Buchstabens mit dem angehängten Doppelindex (i,j) an. Wieder ist das aber nur eine gebräuchliche Schreibweise, kein mathematischer Begriff.
Lass dir nicht erzählen, die Mathematik sei eine Disziplin, in der es um angewöhnte Schreibweisen geht...
Eine Matrix ist der Repräsentant einer linearen Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen V und W bzgl. vorgegebener Basen in V und W. Alle Matrizen, die durch Basiswechsel auseinander hervorgehen, beschreiben dieselbe lineare Abbildung…
Man kann Matrizen mit linearen Abbildungen identifizieren, das ist richtig. Matrizen können aber auch andere Zusammenhänge beschreiben (etwa die verschiedenen Matrizen, die in der Graphentheorie verwendet werden, wie z. B. Inzidenzmatrix, Adjazenzmatrix ...). Man kann dann versuchen, neue Zusammenhänge zu entdecken, wenn man diese Matrizen auch als Abbildungen interpretiert (spektrale Graphentheorie), aber zunächst einmal haben diese Matrizen nichts mit linearen Abbildungen zu tun.
Ein Ding mit Zeilen und Spalten in dem Werte stehen, wobei alle Zeilen gleich lang sind und alle Spalten gleich hoch sind.
Damit kann ein Schüler etwas anfangen :-)