Matrix diagonalisierbarkeit 2x2?
Ich habe die Matrix
gegeben und will überprüfen, ob sie diagonalisierbar ist. Die Eigenwerte vom charakteristischen Polynom sind sqrt(7) und -sqrt(7). Diese beiden Eigenwerte haben die algebraische Vielfachheit 1, kann ich jetzt schon ohne zu rechnen irgendwas über die geometrische Vielfachheit sagen? Mit nem Rechner wäre das kein Problem, aber unter Klausurbedingung müssen wir das ohne Hilfsmittel sagen
6 Antworten
Ja, die geometrische vielfachheit kann nicht 0 sein, also muss sie 1 sein
So eine Frage wird aber erst sinnvoll, wenn man den Körper nennt, über dem die Matrizen gebildet werden. Über dem Körper Q ist die Matrix nicht diagonalisierbar, über jedem Erweiterungskörper von Q, der Wurzel aus 7 enthält, ist sie diagonalisierbar, insbesondere also über dem reellen Zahlkörper.
Wenn man schon (etwa bei Grundkörper IR) die beiden Eigenwerte kennt, weiß man ja, dass es zu jedem der beiden einen Eigenvektor (nicht O) geben muss. Solche zwei Eigenvektoren u, v erzeugen zwei verschiedene Teilräume der Dimension 1; also ist der ganze Raum deren direkte Summe. Dann gibt es also (in Form von {u, v}) eine Basis des Raums aus Eigenvektoren, was äquivalent zur Diagonalisierbarkeit der Matrix ist.
Die geometrische Vielfachheit ist immer größer 0 und kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit, hier muss die geometrische Vielfachheit also für beide Eigenwerte 1 sein, also ist die Matrix diagonalisierbar
Um die Diagonalisierbarkeit zu überprüfen, reicht es, die Determinante auszurechnen, also 2*(-2)-3*1
Ich hatte es so in Erinnerung, dass man eine Matrix mittels Gauß-Algorithmus diagonalisieren kann und dass dieser nur auf reguläre Matrizen angewendet werden kann. Diese haben eine Determinante ungleich 0.
Wie die Regel heißt, weiß ich nicht mehr.
Das zeigt eigentlich nur, dass die Matrix Invertierbar ist, aber nicht, dass sie auch Diagonalisierbar ist.
Würde ich auch so sehen. Es heißt nicht, dass die Eigenwerte unterschiedlich oder auch nur reell sein müssen.
Stimmt. Wenigstens scheine ich nicht der einzige zu sein, der diesem Trugschluss unterlag.
Abschließend möchte ich noch zwei Beispiele bringen, die die Zusammengehörigkeit von Invertierbarkeit und Diagonalisierbarkeit widerlegen. Studenten sagen in Prüfungen gerne mal das das eine das andere impliziert oder umgekehrt, aber das ist schlicht falsch.
http://matheistkeinarschloch.de/diagonalisierbarkeit-von-matrizen/
Dort wird es ausführlich erklärt.
Ja, das kannst du so folgern. Wenn du das noch nicht gemacht hast, solltest du dir überlegen (beweisen), warum das so ist!
Aber unter welchen Bedingungen könnte sie denn zwei sein? Kann man das irgendwie ausschliessen? Laut intuition ja