Wie finde ich hier die algebraische Multiplizität/Vielfachheit?
Aus der Aufgabenstellung kennen wir die geometrische M. für EW 1 = 3 und EW 2 = 2.
Um die Jordansche Normalform zu kriegen müssten wir noch die algebraischen M. herausfinden, dies wahrscheinlich mit der Zusatzinfo der Ränge (Siehe Aufg.) Was kann ich nun daraus ablesen?
1 Antwort
Es ist
Im((A-I)^5) + Ker((A-I)^5) = C^10, woraus dim Ker((A-I)^5) = 7, sowie
Im((A-I)^4) + Ker((A-I)^4) = C^10, woraus dim Ker((A-I)^4) = 7.
Da Ker(A-I)^4 in Ker(A-I)^5 enthalten ist und beide wie gezeigt gleiche Dimension haben, sind sie gleich.
Der Hauptraum zum Eigenwert 1 ist also Ker(A-I)^4 und hat Dimension 7, was der algebraischen Vielfachheit entspricht. Diejenige des Eigenwerts 2 ist dann gleich 3.
Das kommt aus dem Satz über die Hauptraumzerlegung, das kann ich dir jetzt allerdings nicht vorführen.
Vielen Dank! Eine kleine Frage noch: Warum ist die Dimension des Hauptraumes = alg. Vielfachheit?