Gibt es eine lineare Abbildung φ: R^2 -->R^2, so dass φ((1,2)^T)=(1,1)^T, φ((3,15)^T = (7, 40)^T und φ((11, 7)^T = (42, 0)^T?

Du kannst die lineare Abbildung nur auf einer Basis, also 2 linear unabhängigen Vektoren vorgeben. Hier hat man eine Vorgabe auf 3 Vektoren. Das geht höchstens dann gut, wenn die Vorgabe auf dem dritten derjenigen aus den ersten 2 nicht widerspricht.

Nach Auswahl einer Basis in R^2 (z.B. die Standardbasis) kannst du die lineare Abbildung als Matrix darstellen M:=(a, b; c, d). phi(x) ist dann einfach Mx.

Durch Einsetzen der angegebenen Punktwerte kannst du dann schauen, ob die a, b, c und d bestimmen kannst.

Eine lineare Abbildung von R^2 nach R^2 wird durch eine Matrix vermittelt. Da (1, 2)^T und (3, 15)^T linear unabhängig sind (warum?) läßt sich die von den beiden Vektoren und ihren Bildern erzeugte lineare Abbildung ebenso als (reguläre) 2x2 Matrix A schreiben. Wie das geht findest du in deinen Unterlagen. Prüfe nun ob A*(11, 7)^T = (42, 0)^T.