Umkehrfunktion eines Polynom n-ten Grads bilden?
Ich frage einfach aus Interesse heraus: Wenn ich ein bijektives Polynom gegeben habe, zum Beispiel x^3+x^2+x (ist doch bijektiv, oder?) dann müsste es doch eine Umkehrfunktion geben. Umstellen nach y erscheint mir hier aber schwierig, also wie lautet diese...?
Anscheinend ist die Linearfaktordarstellung desPolynoms dafür ganz hilfreich, aber wie hilft einem das denn nun weiter?
2 Antworten
Es existiert eine Umkehrfunktion, aber im Allgemeinen gibt es für ein Polynom n-ten Grades keinen generellen Weg, um diese Funktion darzustellen.
Für Polynome f vom Grad 3 gibt es für die Gleichung f(x)=c eine Lösungsformel, für Grad 4 funktioniert das auch noch. Irgendwie kann man sich damit bestimmt das inverse Polynom zusammenbasteln, aber genau weiß ich das nun auch nicht.
Ab Grad 5 gibt es aber bewiesenermaßen keine Formel, die immer funktioniert. Ob Gleichung höheren Grades lösbar sind, lässt sich mit der Galoistheorie untersuchen, aber das würde hier viel zu weit führen (vgl. auch hiermit)
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Zumindest kann man aber die Ableitung der Umkehrfunktion an den Stellen ybestimmen, die man als Funktionswerte der Originalfunktion bereits kennt, von denen man also das x mit f(x)=y kennt.
Ist f eine bijektive, an der Stelle x differenzierbare Funktion mit f'(x)≠0, so gilt für y=f(x) der Zusammenhang
Kleine Anmerkung: Ein inverses Polynom kann nur für Polynome von Grad 1 existieren. Für bijektive Polynome höheren Grades existieren zwar inverse Funktionen, diese können aber keine Polynomfunktionen sein.
Danke für die umfassende Antwort! Bei mir hat sich nur ein kleiner Denkfehler eingeschlichen: warum muss ich all die Nullstellen bestimmen? Ich will doch nur nach einem x auflösen.
Sagen wir, du willst y=x^3+x^2+x nach x umstellen. Das ist gleichwertig zu x³+x²+x-y=0, und diesen Ausdruck kann man dann eben in Abhängigkeit von y allgemein lösen. Wenn man dann damit fertig ist, hat man x=... dort stehen, wobei die rechte Seite dann die Umkehrfunktion ist.
Ich hab das nicht weitergedacht, als es für die Antwort nötig war. Möglicherweise muss man da Fallunterscheidungen für y treffen. Um das beurteilen zu können, hab ich mit den Lösungsformeln zu wenig am Hut.
Die Umkehrfunktion wird kein Polynom sein, und erst recht nicht kurz.
Ich würde wirklich ein Näherungsverfahren nehmen, wenn es nur darum geht, bestimmte x-Werte herauszufinden. Wenn es jedoch deine Aufgabe ist, die Umkehrfunktion explizit anzugeben, dann viel Glück, Ansatz siehe oben - beim Rest bin ich raus. :D
Korrektur: ist bijektiv.
Kleiner Edit:
"Zumindest kann man aber die Ableitung der Umkehrfunktion an den Stellen y bestimmen [...]"
Hier fehlte zwischen y und bestimmen ein Leerzeichen, das sah wie ein Tippfehler aus; y gehört da aber wirklich hin.
Im Nenner des Bruches muss es zudem 1/f'(x) heißen, nicht f'(a).
Wolfram spuckt btw das hier als Umkehrfunktion aus.