Was ist die Umkehrfunktion von Polynomen nten Grades?

4 Antworten

Nein, das geht nicht allgemein. Damit es eine Umkehrfunktion gibt, muss die Funktion bijektiv sein. Das bedeutet zu jedem f(x) darf es nur genau ein x geben. Es gibt natürlich solche Polynome die bijektiv sind.

Ansonsten musst du den Wertebereich einschränken. Dann hast du eine Teilweise Umkehrfunktion.

Außerdem ist Problem ist mit den Nullstellen von Polynomen verbunden. Da es nach dem 4. Grad keine allgemeine Lösungsformel für die Nullstellen gibt, gibt es auch keine für die Umkehrfunktion (selbst wenn eine existiert).

Dann ist das nur noch in Spezialfällen analytisch machbar z.B. wenn du die Funktion als eine Verschiebung in y und x von x^n schreiben kannst. Also die Form f(x)=(x+a)^n+b

Grüße Cooky

 

Hi,

ein Polynom y n-ten Grades ist allgemein eine Funktion der Form:


y = Sn m=0 am*xm; an <> 0 ; am e R

Um nun die (sofern über dem gesuchten Intervall vorhandene) Umkehrfunktion zu finden, muss man eine Darstellung f(y) finden.

Also muss man nach x auflösen. 

Bsp:

f(x) = y = 2x+1 
-> x = (y-1)/2 
-> f^-1(x) = (x-1)/2 

Ich hoffe ich hab keinen Fehler eingebaut.

Das Auflösen nach x ist im Allgemeinen allerdings nicht möglich, da Gleichungen bis einschließlich vierten Grades in Radikalen allgemein auflösbar sind. 

Ich hoffe Du meintest das so wie ich es verstanden habe ;)

Gruß Turtok

Ja? Nur wieso ist das so, dass bei n > 4 keine Invertierungen mehr möglich sind?

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@JTR666

Weil es für n>=5 keine allgemeinen Loesungsformeln mehr gibt, in denen nur die vier Grundrechenarten und Wurzeln vorkommen.

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Wie Turtok schreibt: Wenn Du eine grF n-ten Grades umkehren willst, musst Du eine Gleichung n-ten Grades lösen. Es gibt zwar für die Gleichung 3. Grades noch  (Cardanische) Formeln, aber dann hilft i.A. nur noch eine Näherungsrechnung. 

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