Wie kann man ohne die Irreduzibilitätskriterien zeigen, dass ein Polynom von Grad 5 irreduzibel ist?
Wir sollen Zeigen, dass ein Polynom fünften Grades irreduzibel ist. Dabei wissen wir nur, dass irreduzible Polynome einen höheren Grad als 1 haben müssen und es nicht möglich sein soll, das Polynom als ein Produkt von echten Polynomen zu schreiben.
Das Polynom lautet: a(x) = x^5+x^2+3.
Ich weiß leider nicht, wie genau ich das lösen soll und würde mich sehr über Unterstützung freuen.
1 Antwort
dass irreduzible Polynome einen höheren Grad als 1 haben müssen
Das ist so nicht richtig. Irreduzible Polynome dürfen Grad 1 haben.
Da nichts weiter angegeben ist, gehe ich (wie hierbei üblich) davon aus, dass die Irreduzibilität über den rationalen Zahlen als Grundkörper untersucht werden soll. Denn über den komplexen Zahlen wäre das Polynom beispielsweise nicht irreduzibel.
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Beim vorliegenden Beispiel würde ich das Reduktionskriterium modulo 2 nutzen. Aber da du geschrieben hast, dass es ohne Irreduzibilitätskriterien gezeigt werden soll...
- Man könnte zunächst zeigen, dass man kein Polynom mit Grad 1 als Faktor findet, es also keine Zerlegung in ein Polynom vom Grad 1 und ein Polynom von Grad 4 gibt. Dazu kann man das Polynom auf Nullstellen untersuchen. Denn könnte man ein Polynom ersten Grades ausklammern, hätte das Polynom eine entsprechende Nullstelle. [Hinweis: Verwende den Satz über rationale Nullstellen.]
- Dann könnte man weiter untersuchen, ob sich das Polynom als Produkt eines Polynoms zweiten Grades und eines Polynoms dritten Grades schreiben lässt. Dazu kann man eine entsprechende Faktorisierung ansetzen und mit Koeffizientenvergleich zeigen, dass dies nicht möglich ist. [Was aber ziemlich nervig sein kann, das Gleichungssystem soweit umzuformen, bis man einen Widerspruch erkennen kann.]
Wenn man das Polynom 5. Grades nicht entsprechend einer der beiden genannten Möglichkeiten ([Grad 1 und Grad 4] oder [Grad 2 und Grad 3]) zerlegen kann, ist es irreduzibel.