Surjektiv, Injektiv, Bijektiv in bezug auf Umkehrfunktionen
Hallo Liebe Community,
in welchen der Fällen wäre eine Funktion Umkehrbar wenn diese bijektiv ist geht das ja auf jeden Fall aber wie schaut es mit surjektiven oder injektiven Funktionen aus?
Eine einfache erklärung der Begriffe wäre von großer Hilfe
2 Antworten
Sei f: V -> W eine injektive Funktion von der Menge V in die Menge W.
Dann ist f^(-1) eine Funktion von W nach V, also die Umkehrfunktion, wenn f surjektiv ist, weil sonst wären nicht alle Elemente von W mit f "getroffen' und die Umkehrfunktion nur 'partiell definiert'.
Allerdings könnte man sagen, dass die Funktion f eindeutig umkehrbar ist, wenn man das Bild von f nimmt, also Bild(f) und dann f : V -> Bild(f) setzt, dann ist f^(-1) : Bild(f) -> V vollständig definiert und somit eine Umkehrfunktion von f.
Wenn f nur surjektiv ist, aber nicht injektiv, also zu Beispiel für zwei verschiedene Elemente v,v' gilt: f(v) = f(v') = w, dann gibt es keine Umkehrfunktion f^(-1), denn dann wüsstest du nicht, ob f^(-1)(w) = v oder = v' ist.
Dann könnte man allerdings sagen: f^(-1) ist eine Funktion von W nach Pot(V) (Potenzmenge von V), da jedes Element von W unter f^(-1) auf eine Teilmenge von V abgebildet wird - im Beispiel: f^(-1)(w) = {v, v'} .
...wenn ich mich jetzt nicht irgendwo vertan hab^^
Warum werden heute in der Mathematik nicht mehr die Begriffe "eindeutig und eineindeutig" in diesem Zusammenhang verwendet ?
Ich fand sie eigentlich immer schön selbsterklärend.
gr w
bei nur injektiv, kann man den Wertebereich , der dann bei der Umkehrf. zum Definitionsbereich wird, einschränken, um umkehren zu können.
bei nur sürjektiv ist nix zu machen mit umkehren.
bei bijektiv alles klar.
Noch eine Anmerkung:
Das waren nur Überlegungen, für eine Funktion f : V -> W gibt es so viel ich weiß nur eine Umkehrfunktion f^-(-1), wenn f bijektiv ist. f^(-1) muss von der Menge W in die Menge V abbilden, mit f^(-1)(w) = v für f(v) = w (v aus V, w aus W) damit es eine Umkerfunktion ist.