Warum muss eine Umkehrfunktion surjektiv sein?
Hi
ich verstehe ja, warum eine Funktion injektiv sein muss, damit man eine Umkehrfunktion bilden kann, aber warum muss sie bijektiv und dementsprechend auch noch surjektiv sein?
LG:)
4 Antworten
Seien A, B Mengen und f: A → B eine Funktion.
Nach Definition von Umkehrfunktionen, handelt es sich bei einer Umkehrfunktion f⁻¹ zur Funktion f um eine Funktion f⁻¹ mit
f⁻¹(f(x)) = x für alle x ∈ A
und
f(f⁻¹(y)) = y für alle y ∈ B.
Anhand der Bedingung „f(f⁻¹(y)) = y für alle y ∈ B“ kann man erkennen, dass f surjektiv sein muss. Denn insbesondere findet man zu jedem y ∈ B ein x ∈ A (nämlich x = f⁻¹(y)) mit f(x) = y.
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Auch anschaulich kann man sich ja überlegen, dass die Umkehrfunktion f⁻¹: B → A dann insbesondere auch selbst wieder eine Funktion sein soll. Zu jedem Element des Definitionsbereichs, also zu jedem b ∈ B, muss es also einen Funktionswert f⁻¹(b) geben.
Wenn nun aber f nicht surjektiv ist, es also Elemente b ∈ B gibt, die nicht von der Funktion f „getroffen“ werden. Wohin soll dann ein solches „nicht von f getroffenes“ Element b von der Umkehrfunktion f⁻¹ abgebildet werden?
Wenn die Funktion nicht surjektiv wäre, dann würde es im Definitionsbereich der Umkehrfunktion Werte geben, für die die Umkehrfunktion nicht definiert ist.
Das wäre ein Widerspruch!
Denn eine Umkehrfunktion ist ja auch eine Funktion und eine Funktionen sind immer im gesamten Definitionsbereich definiert.
Die Umkehrfunktion hätte, wenn die ursprüngliche Funktion nicht surjektiv wäre, im Definitionsbereich (Wertebereich der ursprünglichen Funktion) Definitionslücken.
weil die Umkehrfunktion sonst eine partielle Funktion wäre (was != Funktion ist)