Zerfällt das Minimalpolynom immer in Linearfaktoren?

Hi,

ich habe des Öfteren sowas gelesen wie "Wenn das Mipo in Linearfaktoren zerfällt...". Aber wenn das MiPo doch Teiler des charakteristischen Polynoms ist, welches in Linearfakorten zerfällt, dann muss es das MiPo doch auch immer tun, oder?

LG:)

Answer 1

[PWolff]

In algebraisch vollständigen und separablen Körpern tut es das, ja.

Ansonsten nicht.

In der Schule lernt man nur den Körper der reellen Zahlen als Grundkörper kennen - hier zerfällt jedes Polynom in Faktoren maximal 2. Grades.

Wenn man also keine komplexen Eigenwerte zulassen kann oder will, zerfällt das Polynom nicht notwendigerweise in lineare Faktoren. (Noch komplizierter wird es, wenn man Vektorräume und Matrizen über anderen Körpern, z. B. endlichen Körpern oder dem Körper der rationalen Zahlen, betrachtet.)

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Answer 2

[nirgendwoher]

Im komplexwertigen Fall zerfällt das Minimalpolynom immer vollständig in Linearfaktoren.

Reell ist das nicht zwingend der Fall.