Komplexe zahlen Nullstellen?

Zerlegen Sie die folgenden Polynome in irreduzible reelle Faktoren:

𝑃4(𝑧) = 𝑧^4 + 𝑧^2 + 1?

Wie genau muss ich da vorgehen? Hab keine Ahnung wie ich anfangen soll

Answer 1

[mihisu]

Naja, man könnte evtl. zufälligerweise sehen/kennen, dass

z⁴ + z² + 1 = (z² - z + 1) ⋅ (z² + z + 1)

ist und dann zeigen, dass z² - z + 1 und z² + z + 1 irreduzibel über den reellen Zahlen sind.

Da das vermutlich jedoch die meisten Leute nicht so schnell sehen, würde ich damit beginnen die Nullstellen von z⁴ + z² + 1 in den komplexen Zahlen zu berechnen, um das Polynom über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zu zerlegen. Danach kann man schauen, welche der Linearfaktoren man zusammenfassen kann, um (über den reellen Zahlen irreduzible) Polynome mit reellen Koeffizienten für die Faktoren zu erhalten.

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Berechne die komplexen Nullstellen. Dafür kann man erkennen, dass

z⁴ + z² + 1 = 0 bzw. (z²)² + z² + 1 = 0

eine quadratische Gleichung bezüglich z² ist. (Man kann z² substituieren, wenn man möchte.)

[Versuche die Aufgabe an dieser Stelle evtl. selbst erst noch einmal weiter zu lösen, bevor du meinen Lösungsweg weiterliest.]

Damit erhält man...

$z^2=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}$ $z^2=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}$ $z^2=\frac{-1\pm\text{i}\sqrt{3}}{2}$

Um da nun besser die Wurzeln zu erhalten, bietet es sich an in Polarform zu arbeiten.

$z^2=-\frac{1}{2}\pm\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ $z^2=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\pm\text{i}\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ $z^2=\text{e}^{\pm\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

Damit erhält man dann also

$z=\text{e}^{\pm\text{i}\frac{\pi}{3}}\ \vee\ z=-\text{e}^{\pm\text{i}\frac{\pi}{3}}$

für die Nullstellen von z⁴ + z² + 1. Und damit...

$z^4+z^2+1=\left(z-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\cdot\left(z-\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\cdot\left(z+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\cdot\left(z+\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)$

Da die Nullstellen jeweils nicht-reell sind, gibt es keinen Linearfaktor als irreduziblen Faktor über den reellen Zahlen. Die irreduziblen Faktoren müssen mindestens quadratisch sein. Dementsprechend kann man nun schauen, was man als quadratische Faktoren erhalten kann. Wenn man die Linearfaktoren zusammenfasst, die zu zueinander komplex konjugierten Nullstellen gehören, erhält man Faktoren mit reellen Koeffizienten. Multipliziert man also entsprechend aus...

$z^4+z^2+1=\left(z^2-\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}+\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\cdot z+1\right)\cdot\left(z^2+\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}+\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\cdot z+1\right)$

z⁴ + z² + 1 = (z² - 2 ⋅ cos(π/3) ⋅ z+ 1) ⋅ (z² + 2 ⋅ cos(π/3) ⋅ z+ 1)

z⁴ + z² + 1 = (z² - 2 ⋅ 1/2 ⋅ z+ 1) ⋅ (z² + 2 ⋅ 1/2 ⋅ z + 1)

z⁴ + z² + 1 = (z² - z+ 1) ⋅ (z² + z + 1)

Die Faktoren z² - z+ 1 und z² + z + 1 sind über den reellen Zahlen irreduzibel, da sie keine reellen Nullstellen (sondern nur echt komplexe Nullstellen) haben, also nicht weiter in Linearfaktoren mit reellen Koeffizienten zerlegt werden können.

Comments

[mihisu]

Du solltest auch bedenken, dass, wie so oft, unterschiedliche Wege zum Ziel führen können. Daher solltest du auch insbesondere auch einen Blick auf die Antwort FataMorgana2010 werfen. Vielleicht empfindest du diesen Weg als einfacher.

[hat25252]

@mihisu

finde deinen Lösungsweg sehr verständlich, vielen dank! :)

[FataMorgana2010]

@mihisu

Wenn man "meinen" Weg komplett aufschreibt, ist er auch nicht kürzer, vielleicht ein bisschen elementarer, weil in diesem Fall die Koeffizienten so herrlich einfach sind. Viele Wege halt.

Answer 2

[FataMorgana2010]

Gesucht ist eine Zerlegung in irreduzible reelle Faktoren. Reelle Nullstellen hat das Polynom nicht, sondern nur komplexe. Es gibt also keine reellen Faktoren vom Grad 1 (und also auch nicht vom Grad 3). Entweder das Polynom ist also bereits selbst irreduzibel, oder es gibt zwei reelle Polynome vom Grad 2 p_1 und p_2 mit

P_4 = p_1 * p_2.

Ohne Einschränkung sind p_1 und p_2 normiert, lassen sich also schreiben als

p_1(z) = z² + bz + c und p_2(z) = z² + b'z + c'

Das setzt du ein: P_4(z) = (z² + bz + c)(z² + b'z + c')

Ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich, ergibt Gleichungen für b, c, b' und c' ... daraus das Ergebnis:

p_1(z) = z² + z + 1, p_2(z) = z² - z + 1 (oder umgekehrt).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Comments

[hat25252]

danke! :)

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

substituiere z² durch u, so daß Du die Gleichung u²+u+1=0 erhältst.

Die kannst Du mit der pq-Formel lösen.

Anschließend die Lösungen für u wieder resubstituieren und nach z auflösen.

Herzliche Grüße,

Willy

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[Willy1729]

Zur Kontrolle: Die vier Nullstellen lauten (1/2)­±(1/2)Wurzel (3)i;
-(1/2)±(1/2)Wurzel (3)i;

[FataMorgana2010]

@Willy1729

Du sollst aber in reelle Faktoren zerlegen, deine Faktoren sind komplex.

[Willy1729]

@FataMorgana2010

Hatte ich übersehen.

[hat25252]

@Willy1729

ja da ist leider iwas falsch... richtige antwort ist = (𝑧^2 + 𝑧 + 1)(𝑧^2 − 𝑧 + 1)

[Willy1729]

@hat25252

Man könnte auch auf die dritte binomische Formel kommen, da z nur in geraden Potenzen vorkommt und die ungeraden irgendwie verschwinden müssen.

(z²+z)*(z²-z)=z^4-z².

Da man am Ende noch die 1 haben muß, die entweder aus 1*1 oder aus (-1)*(-1) entstanden sein muß, kann man (z²+z+1)*(z²-z+1) versuchen.

Dadurch, daß die z in beiden Klammer unterschiedliche Vorzeichen haben, heben sie sich beim Ausmultiplizieren auf, was ebenso für z³ gilt.

Außerdem wird noch 2z² addiert und -z²+2z²=z².

[FataMorgana2010]

Das ist die korrekte Methode zur Bestimmung der Nullstellen in diesem Fall - gefragt ist aber die Zerlegung des Polynoms.

[Willy1729]

@FataMorgana2010

Dazu brauchst Du aber erst die Nullstellen.

Polynom ist dann (x-Nullstelle 1)*(x-Nullstelle 2)...

Answer 4

[Halswirbelstrom]

LG H.

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[FataMorgana2010]

Warum wird bei dir beim Übergang von der vorvorletzten Zeile zur vorletzten Zeile aus dem -0,5 beim Auflösen der Klammer ein -0,25? Und was willst du eigentlich zeigen? Du rechnest die Nullstellen der substituierten Gleichung aus und dann machst du die Probe, die dann nicht aufgeht - also?

[Halswirbelstrom]

@FataMorgana2010

Danke für deinen kritischen Kommentar. Hier ist mir tatsächlich etwas aus dem Ruder gelaufen.

LG H.