Immer prüfen,ob binomische Formeln angewendet werden können

1) (x+b)²=x²+2*b*x+b²

2) (x-b)²=x²-2*b*x+b²

3) a²-b²=(a+b)*(a-b)

(x+3)²=x²+2*3*x+3²

(x-1)²=x²-2*1*x+(-1)²

x²+6*x+9=x²-2*x+1

6*x+2*x=8*x=1-9=-8

x=-8/8=-1

Probe: (-1+3)²=2²=4 und (-1-1)²=(-2)²=4 stimmt

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Das hängt von den Bedingungen ab

1) laminare Strömung

2) turbulente Strömung

3) Rauhigkeit der Rohrwände

siehe Physik-Formelbuch

Kapitel,Strömung,Laminare Strömung durch ein Rohr

Gesetz von Hagen-Poiseuille V=pi*∆p*t*R⁴/(8*η*l) (waagerechtes Rohr)

V=Volumen in m³ (Kubikmeter),was in der Zeit t durch das Rohr geflossen ist

∆p=Druckunterschied zwischen 2 Stellen in Pas (Pascal)

t=Zeit in s (Sekunden)

R=Radius des Rohres in m (Meter)

l=Abstand zwischen den betrachteten beiden Stellen in m (Meter)

η=1*10(-3) Ns/m² dynamische Viskosität von Wasser

Bei einem senkrechten Rohr muß man den Höhenunterschied berüchsichtigen

Energieerhaltungssatz:Energie wird nicht erzeugt,sondern ist vorhanden und Energie geht nicht verloren !

Zustand 1 (Stelle1 oben) E1=potenzielle Energie+kinetische Energie+Druckenergie

Zustand 2 (unten) E2=0+kinetische Energie+Druckenergie+Verluste

potenzielle Energie (Lageenergie) Epot=m*g*h

kinetische Energie (Bewegungsenergie) Ekin=1/2*m*v²

Druckenergie Ed=v*p

Verluste → Druckverlust zwischen den beiden Stellen durch Reibung

∆p=... Formel umgestellt

am Ausfluß ist der Druck der Luftdruck pl=....

Druck oben p1ges=pl+ ∆p+p1

Für den Durchfluß durch Rohren gibt es ein Diagramm,wo man Werte ablesen kann

λ=Rohrreibungszahl

Re>2320 Übergang von laminarer Strömung in turbulenter Strömung

Rauhigkeit der Rohrwand

laminare Strömung

turbolente Strömung

kann man hier gar nicht erklären.Dafür brauchst du ein Buch aus einem Buchladen,was sich mit Rohrströmung beschäftigt.

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allgemeine Form der Geraden y=f(x)=m*x+b

einfachste Form y=f(x)=m*x → alle Geraden gehen durch den Ursprung

Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) → x2>x1

Das ist die Sekantensteigung durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

Eine Sekante ist eine Gerade,die durch 2 Punkte geht

Hinweis:Eine Gerade ist durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2) eindeutig definiert

h → m=0 → Gerade liegt parallel zur x-Achse

P1(0/2) und P2(3/2) → m=(2-2)/(3-0)=0/3=0 ein Bruch ist Null,wenn der Zähler gleich NULL ist → notwendige Bedingung aber nicht hinreichend

Beispiel: f(x)=(4-x)/[-2+Wurzel(4)] → x=4 → 4-4=0 und -2+W(4)=-2+2=0

f(4)=0/0 sollte eine Nullstelle sein (Schnittpunkt mit der x-Achse

Da ist aber keine Nullstelle bei x=4 weil auch der Nenner -2+W(4)=0 ist

Darum:Zähler gleich NULL → notwendig aber nicht hinreichend

Immer überprüfen,ob auch der Nenner zu NULL wird.

g) P1(0/0) und P2(4/2) m=(2-0)/(4-0)=2/4=1/2=0,5

f) P1(2/0) und P2(3/2) → m=(2-0)/(3-2)=2/1=2

i) P1(0/3) und P2(4,5/0) → m=(0-3)/(4,5-0)=-3/4,5=(-6/2)/(9/2)=-6/2*2/9=-2/3

f(0)=3=-2/3*0+b → b=3

y=f(x)=-2/3*x+3

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1) 5*x+7*y=-47 → 5*x=-47-7*y → x=(-47-7*y)/5

2) -2*x-4*y=26

1) in 2)

-2*(-47-7*y)/5-4*y=26

(-2)/5*(-47)-7*(-2)/5*y=26

94/5+14/5*y-4*y=26

14/5*y-20/5*y=-6/5*y=26-94/5

-6/5*y=130/5-94/5=36/5

y=36/5*5/-6=36/-6=-6

y=-6

in 1)

x=(-47-7*(-6))/5=(-47+42)/5=-5/5

x=-1

Hinweis:Kannst auch eine Gleichung nach x umstellen 1) oder 2)

oder auch 2) nach y umstellen

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3 Personen brauchen für die Arbeit 17 Stunden

1 Person braucht dann 17 Stunden *3=51 Stunden

5 Personen brauchen dann 51 Std/5=10,2 Stunden

Nennt man 3 Satz,weil da 3 Rechenschritte vorkommen.

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Wenn da Luft drin ist → Taucherglocke,dann ja.

1) Taucherglocke mit der Öffnung nach unten 50 m tief tauchen

2) die Öffnung verschließen

3) Taucherglocke nach oben holen

Dann ist der Innenüberdruck p=5 bar,weil ja die Luft kompressibel (kann sich ausdehnen) ist

Wenn da Wasser drin ist und keine Luft,dann dehnt sich das Material des Behälters

Wasser ist praktisch nicht kompressibel (dehnt sich nicht aus)

Der Druck ist dann von den Gegebenheiten abhängig.

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1) Sb=Vb*(t+0,5 Std)

2) Sa=va*t

3) Sb=Sa

vb*(t+0,5)=va*t

vb*t+vb*0,5=va*t → va>vb

vb*0,5=va*t-vb*t=t*(va-vb)

t=vb*0,5/(va-vb)=100 km/h*0,5 Std/(115 km/h-100 km/h)=3,333.. Std=3 1/3 Std

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Es gilt Punkt vor Strichrechnung

Hier ist eine Klammer und die kann man zuerst ausrechnen

8/2*(2+2)=8/2*4=8/1*2=16

oder zuerst ausmultiplizieren

8/2*2/1+8/2*2/1=8/1+8/1=16/1=16

anders wäre es,wenn da stände 8/2*2+2=8+2=10 → Punkt vor Strichrechnung

8/2 Division → Punktrechnung

8/2=4

4*2 Multiplikation → Punktrechnung

4*2=8

8+2=10 → Strichrechnung

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Schnittpunkte von 2 Funktionen f(x)=... g(x)=..

gleichsetzen → beide Funktionswerte sind gleich

g(x)=f(x) → 0=f(x)-g(x) → Nullstellen berechnen

Es kommt darauf an,welcher Funktionstyp bei 0=f(x)-g(x) vorliegt

meistens ist das eine Parabel der Form 0=a2*x²+a1*x+ao

Normalform 0=x²+p*x+q → Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,quadratische Funktion,Parabel,Lösbarkeitsregeln

Hinweis:eine Parabel kann auch keine reelle Lösung (Schnittstelle mit der x-Achse) haben → Parabel liegt dann komplett über oder unter der x-Achse

0=f(x)-g(x) kann auch eine kubische Funktion ergeben → 0=a3*x³+a1*x²+a1*x+ao

ist nicht mit einer einfachen Formel lösbar.Lösbar direkt nur in einfachen Fällen

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den Ausgangswert setzt man gleich 100%

Der Ausgangswert hängt von der Aufgabenstellung ab

Beispiel: Auf dem Konto befinden sich Ko=1000 € und die werden mit p=2% verzinst

also sind 100% die 1000 €

1% davon sind dann 1000 €/100%=10 €/1%

2% von den Anfangswert sind dann 10 €/1%*2%=20 €

Mit Zinsen dann am Jahresende K(1)=Ko+Zinsen=1000 €+20 €=1020 €

oder K(1)=Ko+Ko/100%*2%=Ko*(1+0,02)=Ko*1,02=1000 €*1,02¹=1020 €

Das ist eine exponentielles Wachstum Formel K(t)=Ko*a^(t)

a=1+p/100%

Kapitel nach 10 Jahren wäre dann Zeit t=10 Jahre

K(10)=1000 €*1,02¹⁰=1218,99 € Kapital nach 10 Jahren

bei der Inflation wäre das eine exponentielle Abnahme

K(t)=Ko-Wertverlust

nach der Zeit t=1 Jahr

K(1)=Ko-Ko/100%*2%=Ko*(1-0,02)=Ko*0,98

a=1-p/100%

K(t)=1000 €*0,98^(t)

Wert des Geldes nach der Zeit t=10 Jahre

K(10)=1000 €*0,98¹⁰=817,07 €

Hinweis:Es gibt auch Aufgaben,wo der Anfangswert berechnet werden soll

Nach einer Preisteigerung von p=2% kostet ein Produkt K=1020 €

Wie war der Preis vor der Preisstegerung?

K=Anfangswert+Preisstegerung

K=1020 €=Ko+Ko/100%*2%=Ko*(1+0,02)=Ko*1,02

Ko=1020 €/1,02=1000 €

Wichtig ist:Was ist der Anfangswert,der 100% entspricht

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Nein

Bis zu 80% von dem,was die Schüler lernen,wird später nie wieder gebraucht und die zigtausenden von Arbeitsstunden werden denen nicht bezahlt.

Das wäre ja dann noch mehr Arbeitsstunden ohne Bezahlung.

Wenn du willst,dann kannst du ja mehrere Studiengänge absolvieren.

1) Mathematik → 4 Jahre

2) Physik → 4 Jahre

3) Chemie → 4 Jahre

usw.

Dann bist du verdammt schlau und hast nix verdient und gehst dann sofort in Rente.

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Anzahl der Runden n=3000 m/400 m=7,5 Runden

Definition:Geschwindigkeit v ist der zurückgelegte Weg s pro Zeiteinheit t.

v=s/t → t=s/v

Lea t=12:32 Minuten=752 s (Sekunden)

Tina t=14:55 Minuten=895 s (Sekunden)

Geschwindigkeit Lea=3000 m/752 s=3,9896.. m/s

Geschwindigkeit Tina=3000 m/895 s=3,35195.. m/s

beide laufen gleichzeitig los und der Geschwindigkeitsüberschuß von Lea ist

vü=3,9896 m/s-3,35195 m/s=0,6376 m/s

bedeutet:Der Abstand der beiden vergrößert sich in jeder Sekunde um

sab=0,6376 m/s *1 s=0,6376 m

aus v=s/t → t(überhol)=s/v=400 m/(0,6376 m/s)=627,84 s (Sekunden)

vergleiche nun

627,84 s>752 s

also,Lea überholt Tina (752 s-627,84 s)=124,16 s vor dem Ziel

Man rechnet mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit,weil man das sonst nicht berechnen kann.

1) Beschleunigungsphase

2) Ermüdungsphase

aus 1) und 2) erkennt man,dass die Geschwindigkeit nicht konstant ist.

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1 km=1000 m (Meter)

Mach folgenden Versuch:Du nimmst ein Fahrrad und stellst das Ventil der Vorderreifens nach unten (Stelle auf den Boden markieren) und schiebst dann das Fahrrad vor,bis sich das Vorderrad 1 mal gedreht hat.

Mit einem Zollstock mißt du nun die abgerollte Strecke aus,sind bei eine 28 Zoll-Rad ca. 2,15 m

1000 m/2,15 m=465,11 Umdrehungen Radumdrehungen sind dann 1 km

Kannst auch den Weg ausmessen,den du zurücklegst,wenn sich die Kurbel einmal dreht,dass sind dann je nach Übersetzung 4 bis 6 m

1000 m/5 m=250 Kurbelumdrehungen

Die Strecke von 1 km kannst du an einer Strecke ausmessen,die dir bekannt ist und markante Stellen hat.Diese Strecke kannst du dich dann merken und somit abschätzen,was 1 km ist

Große Strecken schätzt man mit einen Vergleichswert zwischen 2 Orten

Von Ort A nach Ort B z. Bsp. 5 km → so weit kann man am hellen Tag schauen

Kannst auch die Zeit als Vergleich nehemen

Gemütliches fahren mit dem Fahrrad v=15 km/h

Halbe Stunde dann ca. s=7,5 km und 1/4 Stunde s=4 km

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Stell dir vor,du stehst im Zug und der fährt mit v=100 km/h

Das bedeutet,dass deine Geschwindigkeit auch v=100 km/h ist

Du befindest dich im Zug → Windgeschützt → keine Abbremskraft → also bleibt deine Geschwindigkeit gleich.

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Da steht 8/2*(2+2)=8/2*4=8/1*2=16

hier hast du 2 Möglichkeiten

1) zuerst die Klammer ausrechnen und dann multiplizieren

2) ausmultiplizieren und dann kürzen

2) 8/2*2/1+8/2*2/1=8/1+8/1=8+8=16

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N(t)=No*a^(t) → No=1*10³⁰ Teilchen → T=30 Jahre

N(30)=No/2=No*a³⁰

0,5=a³⁰

a=30.te Wurzel(0,5)=0,97716 → gerundet

N(t)=1*10³⁰ Teilchen*0,97716^(t) → t=1000 Jahre

N(1000)=1*10³⁰*0,97716¹⁰⁰⁰=9,2239..10¹⁹ Teilchen

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Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

Vorzeichenregeln

Plus mal Plus ergibt Plus

Plus mal Minus ergibt Minus

Minus mal Plus ergibt Minus

Minus mal Minus ergibt Plus

(-a)²=(-a)*(-a)=a² weil Minus mal Minus Plus ergibt

-a²=-1*a² weil da -1 vor a² steht

(-1*a)⁵=(-1*a)*(-1*a)*(-1*a)*(-1*a)*(-1*a)

(-1*a)*(-1*a)=a → Minus mal Minus ergibt Plus

..=a²*a²*(-1)*a¹=(-1)*a^(2+2+1)=-1*a⁵=-a⁵

(-1*a)⁴=(-1*a)*(-1*a)*(-1*a)*(-1*a)=1*a²*1*a²=1*a^(2+2)=1*a⁴=a⁴ die 1 kann man weglassen

(-1*a)=-1*a

...=-1*a⁵*a⁴*(-1)*a¹=(-1)*(-1)*a^(5+4+1)=1*a¹⁰ Minus mal Minus ergibt Plus

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