Das nennt man Kultur.

Spaß bei Seite. Es gibt verschiedene Gründe sich sowas anzulegen. Z.B.
wenn man ein Fan ist und vielleicht die Unternehmen / Personen hinter den Anime unterstützen will. Geld ist immerhin ein guter Motivationsgeber,
wenn man vielleicht eine kleine positive parasoziale Beziehung zum Charakter aufgebaut hat,
wenn man seine Fanliebe ausdrücken will,
wenn man einfach nur nen guten Joke haben will,
...

Stell dir vor Anime nehmen ein großen Teil in deinen Leben ein. Du schaust vielleicht täglich mehrere Episoden und das seit deiner Kindheit. Es kommt einen Hobby gleich und für Hobbys legt man sich halt manchmal Sachen an.

"Beweisen"? Der Mittelwertsatz hilft den Wert des Integrals zu schätzen. Beweisen tut man damit nicht viel...

Es gilt (f(x) ist deine Funktion):



Sagen wir c = 0,25:



Und e < 4.12655468696 < e². Hier ist eine kleine visuelle interaktive Darstellung.

Wenn du interessiert bist an den genauen Wert des Integrals: 4,1268002359...

Ein tatsächlicher Beweis sähe eher so aus ("I" steht fürs Integral und alle Angaben gelten nur fürs Intervall [0, 1]):

Gegeben: e < I < e²
Wir wissen: Int_0^1 Konstante dx = Konstante
Gilt also e < f(x) < e², so gilt e < I < e².

Nutzen wir das Newtonverfahren auf f'(x) in [0, 1], so erhalten wir x = 0,51... als einzigen konvergenten Wert, f''(0,51...) = −3.0728141505 aka bei x ist der höchste Wert. Der Niedrigste muss an den Intervallgrenzen liegen (da es nur einen Extrempunkt gibt und der ist ein Hochpunkt):

f(0) <= f(x) <= f(0,51...) oder f(1) <= f(x) <= f(0,51...). Durch einsetzen und Ausrechnen sehen wir, dass ersteres stimmt, somit haben wir:

e <= 3,7936678946... <= I <= 4.24844503424 <= e²

Die Macher dachten sich, dass es wohl eine gute Idee wäre statt einer zweiten Staffel ein Spiel zu machen. Das Spiel heißt Danganronpa 2: Goodbye Despair und setzt Staffel 1 fort (es gibt keine Staffel zu den Story-Teil). Nach den Spiel geht es mit der dritten Staffel Danganronpa weiter (Danganronpa 3)...

Ich hatte es auch gehasst, doch meiner Meinung nach kann man sich Staffel 3 auch anschauen, wenn man das Spiel nicht gespielt hat. Es ist manchmal etwas merkwürdig, besonders das Ende, doch es ist immer noch gut.

Es gibt zu Info 3 Spiele. Das erste Spiel Danganronpa 2: Goodbye Despair, was Staffel 1 fortsetzt, das zweite Spiel Danganronpa: Trigger Happy Havoc (womit man nichts machen muss, doch strenggenommen spielt es direkt nach Danganronpa 2 aber vor 3) und das dritte / bisher letzte Spiel Danganronpa V3: Killing Harmony (was etwas in Danganronpa 2 spielt bzw. nur mit den Charakteren von da, aber muss man auch nicht gespielt haben).

A = {{cos(a), -sin(a)}, {sin(a), cos(a)}}

Du rechnest in von oben links nach unten rechts in einer diagonalen minus eine Konstante (in der Regel lambda) und ziehst dann die Determinante... Du erhältst das das charakteristische Polynom:

Du setzt es gleich 0 und löst nach lambda (einfach die PQ-Formel anwenden)...
Dir sollte direkt auffallen, dass sin²(a) + cos²(a) = 1 gilt (trigonometrischer Pythagoras)...
Du erhältst:

lambda = Exp(Plusminus a * i)
bzw.
lambda_{1} = cos(a) + sin(a) * i
lambda_{2} = cos(a) - sin(a) * i

Das sind deine Eigenwerte.

Jetzt nimmst du die wieder deine Matrix zieht wieder in der diagonalen wieder die Eigenwerte ab (ich nenne die Matrix "B"). Du erhältst:

B * v = 0

v sind deine Eigenvektoren.

Sagen wir v = {{b}, {c}}. Setzen wir ein:

v_{1}:
0 = -sin(a) * i * b - sin(a) * c
0 = -sin(a) * i * c + sin(a) * b
b = i, c = 1

v_{2}:
0 = sin(a) * i * b - sin(a) * c
0 = sin(a) * i * c + sin(a) * b
b = -i, c = 1

Das sind die Eigenvektoren...

Für mehr kannst du einfach auf Wikipedia nachschauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren

Du musst einfach nur den oberen Term faktorisieren und ab da ist es trivial:

LaTeX-Code für interessierte:

\begin{align*}
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 \cdot 2 \cdot \left( x + 2 \right)}{\left( 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{2} \right)^{2}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 \cdot 2 \cdot \left( x + 2 \right)}{5^{2} \cdot \left( \left( x + 2 \right)^{2} \right)^{2}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 \cdot 2 \cdot \left( x + 2 \right)}{5^{2} \cdot \left( x + 2 \right)^{4}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot 5 \cdot \left( x + 2 \right) \cdot \left( \left( x + 2 \right) - 2 \cdot x \right)}{5^{2} \cdot \left( x + 2 \right)^{4}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot 5 \cdot \left( x + 2 \right) \cdot \left( \left( x + 2 \right) - 2 \cdot x \right)}{5 \cdot \left( x + 2 \right) \cdot 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{3}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot \left( \left( x + 2 \right) - 2 \cdot x \right)}{ 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{3}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot \left( x + 2 - 2 \cdot x \right)}{ 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{3}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{2 \cdot \left( 2 - x \right)}{ 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{3}}\\
N^{\prime}\left( x \right) &= \frac{4 - 2 \cdot x}{ 5 \cdot \left( x + 2 \right)^{3}}\\
\end{align*}

Du hast:

y'(x) / 2 = x⁵ / (y(x))²

Rechne mal 2:

y'(x) = 2 * x⁵ / (y(x))²

Schreibe "1 / (y(x))² = (y(x))⁻²" und fertig bist du:

y'(x) = 2 * x⁵ * (y(x))⁻²

=> f(x) = 0
=> h(x) = 2 * x⁵

"Die Lösungen" sind:

y(x) = Sqrt[3](x⁶ + c) | Alle 3 Wurzeln

Wenn y(1) = 4:
y(x) = Sqrt[3](x⁶ + c)
   4 = Sqrt[3](1⁶ + c)
   4 = Sqrt[3](1 + c)   | ()³
  64 = 1 + c            | -1
   c = 63
y(x) = Sqrt[3](x⁶ + 63)

Gilt f: R -> R (wir weisen reellen Zahlen reelle Zahlen zu aka Schulmathematik), so wäre die Funktion nicht injektiv, nicht surjektiv und nicht bijektiv.

Was die Ziel- und Ausgangsmenge ist muss immer angegeben sein! Ich nehme einfach nur an, dass diese hier gleich sind.

Notations-Erklärung, wenn du sie nicht kennst:

"=>" bedeutet "impliziert"
"∧" bedeutet "und"

Injektiv

Injektiv ist die Funktion dann, wenn gilt x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂) (Auf deutsch: An jeder Stelle hat die Funktion einen unterschiedlichen Wert)

Ist das hier der Fall?

f(x) = x / |x| ∧ x ≠ 0
f(-1) = -1 ∧ f(-2) = -1 => f(-1) = f(-2)
=> nicht injektiv

Extra-Quelle:

Surjektiv

Surjektiv ist die Funktion dann, wenn jeden Element der Zielmenge (hier alle reellen Zahlen) aka das was deine Funktionswerte sein dürfen ein Element der Ausgangsmenge aka das was du einsetzen darfst zugeordnet wurde.

Ist das hier der Fall?

f(x) = x / |x| ∧ x ≠ 0
|f(x)| = |x / |x||
|f(x)| = |x| / ||x||
|f(x)| = |x| / |x|
|f(x)| = 1
=> der Betrag aller Funktionswerte ist 1,
aber nicht alle relle Zahlen haben den Betrag 1 (z.B. 2)
==> nicht surjektiv

(Du kannst das auch anders bestimmen, indem du f(x) = y setzt und nach x löst. Existiert nicht für alle y-Werte ein x, so ist die Funktion nicht surjektiv. Man sagt auch, dass das Bild (Fachwort für Menge aller Funktionswerte) gleich der Zielmenge ist.)

Extra-Quelle:

Bijektiv

Bijektiv ist eine Funktion dann, wenn sie injektiv und surjektiv (es muss beides gelsten) ist. Unsere Funktion ist wie gezeigt weder injektiv noch surjektiv, dementsprechend auch nicht bijektiv.

Bildlich würdest du es erkennen, wenn der Funktionsgraph ohne Lücken nur fällt oder nur wächst.

Extra-Quelle:

Wenn du die Klammer auflöst (bzw. die beiden Sachen Zähler in separate Brüche aufteilst) wird es offensichtlich:

f(x) = (x - a) / x²
f(x) = x / x² - a / x²
f(x) = 1 / x - a / x²

De erhälst:

F(x) = ∫ (1 / x - a / x²) dx
F(x) = ∫ 1 / x dx - ∫ a / x² dx | ln'(x) = 1/x und Potenzregel
F(x) = ln(|x|) + a / x + Konstante

Probe:

F'(x) = f(x) | = Fundamentalsatz der Analysis

 F(x) = ln(|x|) + a / x + Konstante
F'(x) = (ln(|x|) + a / x + Konstante)'
F'(x) = (ln(|x|))' + (a / x)' + (Konstante)' | Konstantenregel, Potenzregel, Kettenregel
F'(x) = sgn(x) * 1 / |x| - a / x² + 0
F'(x) = 1 / x - a / x²
F'(x) = x / x² - a / x²
F'(x) = (x - a) / x²
F'(x) = f(x) ∧ x ≠ 0 q.e.d.

-3,99? Is this right?

Ja das ist korrekt, da gerundet.

Der Genaue wert 4, wenn dein eingesetzter Wert genau wäre (x = Sqrt[2], x = -Sqrt[4]).

Wieso 3 Extrempunkte?

Ein Polynom von Grad n hat maximal n Nullstellen, n-1 Extremstellen, n-2 Wendestellen, ...

Du hast eines von Grad 4: maximal 4 Nullstellen, maximal 3 Nullstellen, ... (Fundamentalsatz der Algebra)

Die beiden Extrema bei f(...) = 4 sind Minima und zwischen zwei Minima ist ein Maxima:

Du kannst sie auch berechnen.
Eine Extremstelle von der Funktion f ist die Nullstelle seiner Ableitungsfunktion f'(x):

f(x) = x^4 - 4 * x^2
f'(x) = 4 * x^3 - 4 * 2 * x
f'(x) = 4 * x^3 - 8 * x

f'(x) = 4 * x^3 - 8 * x
    0 = 4 * x^3 - 8 * x
    0 = (4 * x^2 - 8) * x | Satz vom Nullprodukt: x = 0
    0 = 4 * x^2 - 8       | +8
    8 = 4 * x^2           | :4
    2 = x^2               | Sqrt[x]

x = +Sqrt[2] && x = -Sqrt[2]

Lösungsmenge:

L = {-Sqrt[2], 0, +Sqrt[2]}

Wieso habe ich 3 Nachweise? Ist das korrekt?

Das ist rund korrekt (du hast bei den letzten beiden "="-Zeichen statt Rundzeichen geschrieben). Du hast 3 Extrempunkte, wie gerade eben schon gezeigt.

Alternativ kannst du sowas auch immer sehr schnell graphisch überprüfen, z.B. am Handy / PC über Desmos (es gibt auch eine App dazu, wenn du es nicht online machen willst), oder du zeichnest dir schnell einen Graphen.

Du könntest auch in den Taschenrechner die Werte in unmittelbarer Umgebung einsetzen. Sind beide größer oder kleiner als der Wert bei der vermeintlichen Extremstelle, so ist es wirklich eine Extremstelle. Z.B. bei x = 0, würdest du 0,0...1 und -0,0...01 einsetzen.

Der Graph der Funktion:

Es ist offensichtlich, dass dort Polstellen vorliegen. Es existiert also kein Integral in eigentlichen Sinne (es ist uneigentlicht).

Wollen wir das Integral berechnen müssten wir von Intervallgrenze (links) zu Polstelle (links), Polstelle (links) zu Polstelle (rechts) und Polstelle (rechts) zu Integralgrenze (rechts) integrieren. Streng genommen divergieren die einzelnen Integrale, womit auch ursprüngliche Integral nicht existiert (existieren würde es nur wenn die einzelnen Integrale divergieren).

Aber dein Lehrer gibt dir wahrscheinlich keine unlösbare Aufgabe mit "Berechnen". Gemeint ist wahrscheinlich der Hauptwert (Cauchyscher Hauptwert) bzw. CH bzw. PV (je nach dem wie ihr den genannt habt).

Der sähe hier so aus:

Zuerst die Stammfunktion bilden. Ich nehme an, dass bei der Stammfunktion das Problem besteht:

(siehe hier Integralrechner.de)

Vereinfachen wir:

Du kennst die Polarform:



Sagen wir w^{77} = w^{77}. Wenden wir die Polarform einmal auf w (links) und einmal auf w^{77} (rechts an):

Dividieren wir durch |w^{77}|, ziehen dann den ln( ) und dividieren dann durch i, so erhalten wir:

arg(w^{77}) = 77 * arg(w)

Das gilt analog für jeden reellen Exponenten von w:

arg(w^{a}) = a * arg(w)

Ihr habt das komplexe Argument in [0, 2 pi) definiert (denn alles andere wäre ja zu einfach).

Wir wissen, dass e^{x} periodisch zu 2 * pi * i ist, aka ln(e^{x}) = x + k * 2 * pi * i (k ist eine ganze Zahl):

arg(w^{77}) + k * 2 * pi = 77 * arg(w)
arg(w^{77}) = 77 * arg(w) - k * 2 * pi
arg(w^{77}) = 77 * pi/6 - k * 2 * pi
arg(w^{77}) = 77 * pi/6 - 6 * 2 * pi
arg(w^{77}) = 5 * pi/6

Wie findest du k? k muss arg in [0, 2pi) bringen und das erfüllt immer nur genau 1 k. Brude Foce würde klappen, oder du nimmst beim Term ohne k den Faktor vor pi (hier 77/6), teilst den durch 2 und rundest ab (k = Abrunden(Faktor / 2)). Warum? Das was du suchst ist das kleinste positive Ergebnis. Ist der k Term größer al der andere, so wäre er negativ. Ist er kleiner so sit er Positiv. Der kleinste Wert ist da wo es fast 0 ist (setzen gleich 0) lösen nach k, wir wollen das kleinste ganze was dran ist (abrunden).

Aus der Berechnung geht hervor, dass arg(w^a) = a * arg(w) gilt aka w^77 hat den "Winkel" von w 77 mal aneinander gepackt.

Hier einmal 1*arg(w) bist 4*arg(w):

Bei 12*arg(w) kommen wir wieder bei 360° an. Wir zeichnen dann einfach weiter.

Du kommst normalerweise nicht so oft bei 360° vorbei. Dort legst du auch einfach immer weiter den Winkel (77 mal) den Winkel an. Miss dann am ende einmal von 0° bis zu den Punkt wo du bei der aktuellen Umrundung stehen geblieben bist. Das ist dein Winkel.

Ich denke, dass es davon abhängt über welche Herleitung man Integralrechnung lernen will. Dir sollte bewusst sein, dass je nachdem was du damit anstellen willst auch verschiedene, teilweise nicht gleiche und auch nicht äquivalente Definitionen von Integralen finden kannst und des so tiefer du gehst des so wichtiger werden diese kleinen Unterschiede in den Definitionen.

Aber am Anfang nachdem du eine passende Art gefunden hast, kommt wie du damit arbeiten willst. Du wirst da wahrscheinlich viele verschiedene Integrations-regeln und Verfahren kennen lernen und die wirst du dann auch als normaler Mensch nutzen, denn die vereinfachen alles enorm. Demnach solltest du diese lernen. Die wichtigsten wären:

• Summen- / Differenzenregel
• Faktorregel
• Das mit der Integrationskonstante
• Partielle Integration
• Substitutionsregel
• Logarithmisches Integrieren
• Falschen Integrieren (so wie falsches Ableiten nur für Integration)

Ich Liste auch einfach ein Paar Herleitungen auf:

Was ist das?

Wie schwer: Am elegantesten wäre der über Ableitungen (meiner Meinung nach).

Das ist weniger intuitiv, aber sehr elegant, wenn man unbestimmte Integration als Umkehrung zur Ableitung sieht. Grenzwerte wären hierbei wahrscheinlich dass Schwerste.

Was brauchst du dafür?

Dafür bräuchtest du Kenntnisse über:

• Ableitungen (Differentialrechnung) / Differentialquotient / Tangentensteigung
• Differenzenquotient / Sekantensteigung / Steigungsdreieck
• Grenzwerte / Limits / Limes
• Gebrochen rationale Funktionen

Vorteile

• Es lässt sich sehr schnell genügend Verallgemeinern um damit in andere coole Gebiete der Mathematik einzutauchen (z.B. fraktionale Infinitesimalrechnung, Differentialgleichungen aller Art, ...).
• Es lassen sich hiermit auch schnell viele Stammfunktionen finden.
• Es ist ein prima Einstieg in die Euler Methode (Verfahren zum numerischen Lösen von Differentialgleichungen)

Nachteile

• Nicht gerade Intuitiv.
• Übergang zur Flächenberechnung ist schwerer.

Was ist das?

Wie schwer: Weniger Elegant aber ziemlich intuitiv ist.

Integrale können genutzt werden um Flächen unter Funktionen zu bestimmen. Riemann kam als mögliche Herleitung und einfache Visualisierung davon darauf einfach die Funktionen in Abschnitte einzuteilen, unter diesen Abschnitten Rechtecke einzuzeichnen und deren Flächeninhalt dann zu berechnen und addieren. Lassen wir die Breiten der Rechtecke immer kleiner werden, so Erhalten wir das bestimmte Integral. Sie werden auch Darboux integrale genannt (bzw. sie sind äquivalent).

Alternativ gäbe es auch die Herleitung von Lebesgue, was extrem ähnlich ist.

Was brauchst du dafür?

• Grenzwerte / Limits / Limes
• Summenzeichen / Sigma-Notation
• Flächenberechnung bei Rechtecken (Breite * Länge)

Vorteile

• Sehr Intuitiv.
• Einfach zu verstehen.

Nachteile

• Herleitung zur Stammfunktion (das eigentlich sehr wichtige) ist schwerer.
• Herleitung der Beziehung zur Differentialrechnung ist auch nur so semi einfach.
• Verallgemeinerungen sind auch schwerer.
• ...

Was ist das?

Wie schwer: Kaum bis gar nicht intuitiv und man brauch wissen aus mehreren Ecken der Mathematik.

Stell dir irgendeine komplexwertige Funktion (eine Art von 3D bzw. 4D Funktion) vor. Jetzt willst die Fläche unter der Funktion haben... Aber du kannst auf einmal nicht nur mehr von links nach recht bzw. rechts nach links unter der Funktion die Fläche suchen, sondern entlang der gesamten Funktion in irgendwelchen Kurven, z.B. Kreisen. Wie kommst du an den Flächeninhalt?
Zum finden dieser Werte nutzt man diverse Tricks aus allen Ecken der Mathematik, z.B. diverse Integrationsregeln (z.B. Substitutionsregel) aus den zuvor genannten Herleitungen, irgendwelche Theoreme (z.B. Residuen Theorem), diverse Tricks, ...

Was brauchst du dafür?

• Etwas Verständnis über komplexe Zahlen
• Residuen und wie man sie findet
• Integrierbarkeit
• Grenzwerte / Limits / Limes

Vorteile

• Du kannst komplexwertige Funktionen integrieren
• Du kann in mehrdimensionalen Flächen finden
• Die Herleitung zum Ableiten in komplexen ist nahe

Nachteile

• Kompliziert
• Wenig intuitiv
• und selbst wenn man das Vorwissen hand ist es anstrengend

Es gibt noch viele andere Arten der Herangehensweisen (z.B. unfassbar viele numerische Verfahren) und Integraldefinitionen... Aber das sind die basic Sachen wie man herangehen kann.

Das Stichwort ist Harmonische Zahlen:

(siehe hier > Formel 31)

Bei dir ersetzt du k mit i und r mit k:





Wie du sie schreibst hängt von dir ab. Wie wäre es mit:



Geht n gegen unendlich, so erhältst du die riemannsche Zeta Funktion (das zweite in der Formel ist die Hurwitz bzw. Clasical Zeta Funktion).

Du kannst sie auch als Polygamma Funktion schreiben oder rekursiv schreiben...

Doch was du genau willst geht nicht hervor denn "Für einen Beweis brauche ich die Partialsumme. Kann mir jemand sagen wie die lautet?" ist da etwas ungenau, denn das ist bereits die n.te Paritalsumme.

ich möchte den folgenden Ausdruck beweisen:

lim n->unendlich (x/n*summe von i=1 bis n von (i/n * x)^k)

Das ist eine Formel ohne Relation, Behauptung oder Ähnliches zum Beweisen. Aber ich denke, dass du nur das Limit ziehen willst.

Es gilt:

für k > 1.

Für k < 0 geht es gegen unendlich * sgn(x). Der Rest sind Spezialfälle...

Du kannst das n aus der Summe rausholen (da unabhängig von i). Du erhält:

i^k haben wir uns schon davor hergleitet...

Geht n gegen unendlich so geht auch i^k gegen unendlich, wenn k <= 1. Ist k > 1, so ist das riemannsche Zeta Funktion (nur reelle Werte) aka wir können es so aus den Limit ziehen.

Ist k > -1, so geht der Bruch gegen 0. Für k > 1 geht der term also gegen 0, Für k < 0 gegen sgn(x^(k + 1)) * unendlich und für k in [0, 1] kommen nur Monome raus (nicht alle sind ganz-rational).

Plot von Zeta:

(nur x > 1 ist hier korrekt)

Beispiele von Monomen:

LaTeX-Code für interessierte:

\begin{align*}
\lim\limits_{n \to \infty}\left[ \frac{x}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n}\left[ \left( \frac{i \cdot x}{n} \right)^{k} \right] \right] &= 
\lim\limits_{n \to \infty}\left[ \frac{x}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n}\left[ i^{k} \cdot \left( \frac{x}{n} \right)^{k} \right] \right]\\
\lim\limits_{n \to \infty}\left[ \frac{x}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n}\left[ \left( \frac{i \cdot x}{n} \right)^{k} \right] \right] &= 
\lim\limits_{n \to \infty}\left[ \frac{x}{n} \cdot \left( \frac{x}{n} \right)^{k} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n}\left[ i^{k} \right] \right]\\
\lim\limits_{n \to \infty}\left[ \frac{x}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n}\left[ \left( \frac{i \cdot x}{n} \right)^{k} \right] \right] &= \lim\limits_{n \to \infty}\left[ \left( \frac{x}{n} \right)^{k + 1} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n}\left[ i^{k} \right] \right]\\
\end{align*}

Hier kannst du einmal ein paar sehr nützliche Relationen (Sätze, Regeln und Beziehungen) tabellarisch aufgeführt dazu sehen.

Wir wissen:

Setzen wir bei "Convolution" für f(x) = 1 und für g(x) = y(x) ein, so erhalten wir deine Formel (G(x) wäre dein transformiertes y(x)):

Wie wurde es angewandt?

1. Laplace Transform ziehen.
2. Linearität anwenden: L(a f(x) + b g(x)) = L(a f(x)) + L(b g(x))
3. "y(x - s) = "1 * y(x - s)" nutzen, damit "L(Int y(x - s) dx) = L(1 * y(x - s))" gilt.
4. die Convolution-Formel anwenden.

LaTeX-Code für Interessierte:

\begin{align*}
\int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x &= \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x &\quad\mid\quad \mathcal{L}_{t}\left\{ \cdot \right\}\left( x \right)\\
\mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right) &= \mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right)\\
\mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right) &= \mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} 1 * y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right)\\
\mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right) &= \mathcal{L}_{t}\left\{ 1 \right\}\left( x \right) \cdot \mathcal{L}_{t}\left\{ y\left( t \right) \right\}\left( x \right)\\
\end{align*}

Das geht einfach mit etwas umschreiben:

LaTeX-Code für Interessierte:

\begin{align*}
p \cdot \left( 1 - p \right)^{19} + \left( 1 - p \right)^{20} &< 0,5\\
p \cdot \left( 1 - p \right)^{19} + \left( 1 - p \right) \cdot \left( 1 - p \right)^{19} &< 0,5\\
\left( p + \left( 1 - p \right) \right) \cdot \left( 1 - p \right)^{19} &< 0,5\\
\left( p + 1 - p \right) \cdot \left( 1 - p \right)^{19} &< 0,5\\
1 \cdot \left( 1 - p \right)^{19} &< 0,5\\
\left( 1 - p \right)^{19} &< 0,5 &\quad\mid\qquad\quad \sqrt[19]{\cdot} \qquad\quad\,\,\,\\
1 - p &< \sqrt[19]{0,5} &\quad\mid\quad + \left( p - \sqrt[19]{0,5} \right)\\
1 - \sqrt[19]{0,5} &< p\\
p &> 1 - \sqrt[19]{0,5}\\
\end{align*}

• 86 (S1)
• Terror in Resonance
• 91 Days
• WONDER EGG PRIORITY
• Made in Abyss
• No Game, No Life
• Sleepy Princess in the Demon Castle
• Bungo Stray Dogs (wegen den Humor und Charakteren | ab S4 auch wegen der Story)
• The Eminence in Shadow (S1)
• ...

Das ist ein Klassiker.

Wir kennen logarithmisches Ableiten:

L(f(x)) = (ln(f(x)))' = f'(x) / f(x)

Integrieren wir:

ln(|f(x)|) = Int f'(x) / f(x) dx

Schreiben wir um können wir das auch hier anwenden:

(c = Integrationskonstante = 1,5)

Ist x² + 2x +3 > 0, so können wir auch die Betragsstriche weglassen.

-----------------------------------------------

LaTeX-Code für Interessierte:

\begin{align*}
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \int \frac{\left( \int \left( x + 1 \right)\, \operatorname{d}x \right)'}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \int \frac{\left( \frac{1}{2} \cdot x^{2} + x + c \right)'}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\left( x^{2} + 2 \cdot x + 2 \cdot c \right)'}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &\mid u\left( x \right) := x^{2} + 2 \cdot x + 3\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u'\left( x \right)}{u\left( x \right)}\, \operatorname{d}x  = \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \left| u\left( x \right) \right| \right)\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \left| x^{2} + 2 \cdot x + 3 \right| \right)\\
\end{align*}

Je nach dem wie deine Differentialgleichung aussieht könnte es verschiedene Lösungsmethoden geben. Manchmal gibt es aber auch einfach keine wirkliche Lösung. Manchmal existiert eine geschlossene Form, manchmal hat man nur eine Reihentwicklungen... Manchmal ist das Ergebnis explizit, manchmal aber auch in noch komplizierteren Gleichungen ungelöst...

Z.B. ein FDE der Ordnung 2 löst man anders als ein PDE der Ordnung 2... Ihr Lösungsmethoden haben meistens kaum was gemeinsam.

Ich gehe in Folgenden besonders auf ODEs ein.

Form: y''(x) + p(x) * y'(x) + q(x) * y(x) = g(x)

Für lineare ODEs zweiter Ordnung gibt es zum Glück Lösungsformeln-

Die partikulare Lösung (kann man über Variation von Parametern finden - siehe hier die Herleitung):

Mit y1 und y2 als homogene Lösungen und W als Wronskian.

Für die zweite homogene Lösung (siehe hier die Herleitung):

Die erste homogene Lösung findest du entweder, da du die Form kennst, du sie unterwegs beim Vereinfachen findest, sie ratest oder sie trivial ist. Du hast wahrscheinlich schon man eine Tabelle gesehen, wo viele Spezialfälle draufstehen und wie dort die homogene Lösung aussehen muss.

Homogenes Lineares ODE zweiter Ordnung

Form: y''(x) + p(x) * y'(x) + q(x) * y(x) = 0

Es kommt die triviale Lösung y(x) = 0 dazu (siehe hier die Herleitung: Formeln 24 bis 40):

Ist q(x) = 0, so gilt:

Es kommt auch eine neue Lösungsmethode dazu: Frobenius Methode (Reihentwicklung als Lösung)

ODEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Form: y''(x) + p * y'(x) + q * y(x) = g

Hier kannst du verschiedenes anwenden. Z.B.:

Ziehen der Laplace Transformation gibt dir eine lineare Gleichung an Transformierten y(x), welche man schnell umstellen kann nach zusammen fassen (- Konstante dann / Leitkoeffizient). Dann ziehen wir noch die Umkehr-Laplace Transformation und fertig sind wir. (Sie hier.)

Wenn homogen (g = 0): y(x) := Exp[a * x], dessen n.te Ableitung a^n * Exp[a * x] ist aka du erhälst ein Polynom zweiten Grades mal Exp[a * x], was sich rauskürzen kannst, gleich 0. ABC-Formel rauf und fertig bist du.

Form: y''(x + a) + p(x) * y'(x + b) + q(x) * y(x + c) = g(x)

Es ist basicly das gleiche, nur dass hier der delay bzw. advance kommt.

Sind die Koeffizienten konstant, so würdest du hier mit der Z-Transformation arbeiten oder wieder y(x) := Exp[a * x] substituieren (du erhält eine Gleichung lösbar durch die Lambertschen W Funktion oder anderen Speziellen Funktionen). Ansonsten ist es hier eigentlich ein Ratespiel.

Ist die Gleichung homogen, so könnte Frobenius Methode funktionieren, aber das auch nur manchmal.

Form: Differentialgleichungen mit Funktionen die von mehr als einer Variable abhängig sind

Es wird immer Schwerer... Oft gibt es hier nur noch numerische Lösungen oder man arbeitet sich über Randbedingungen und einige Relationen zu einzelnen Lösungen hin. Alternativ wird kann hier auch noch "die" Fourier Transformation nütlzich sein.

Form: Differentialgleichung in der Ableitungen nicht-ganzer Ordnung stecken

Viel schwerer geht es kaum... Abhängig von der Definition, Art, Grenzen, Typen und Randbedingungen der einzelnen Ableitungen unterscheiden sich fast alle Ergebnisse. Selbst bei einfachsten FDEs sind Lösungsmethoden oft einfach nur das komplette Ausreizen der Definitionen von bestimmten Operatoren bzw. Transformationen.

Hat das FDE konstante Koeffizienten und ist homogen, so kann man auch hier mit y(x) := Exp[a * x] arbeiten. Du erhält jedoch keine Polynome mehr und Lösungen können nur noch numerisch erreicht werden.

Zum Glück begegnet man Differentialgleichungen dieser Art fast nie, außer man geht in wirklich komplizierte physikalische Systeme oder Arbeitet aus Spaß damit.

Wenn du die beiden speziellen Personen suchst, dann:

• "Danmachi" (Anime Name)
• "Amazoness" (Charakter Typ)
• "Tione Hiryute" und "Tiona Hiryute" (Namen von den beiden - glaube ich zumindest)

Wenn du ähnliches willst (besondere Attribute):

• "dark skin" / "black skin" (Hautfarbe)
• "brown hair" / "dark hair" / "black hair" (Haarfarbe)
• "sisters" / "sister" (Beziehungsstatus)
• "dark elves" / "dark elve" (Elfen-Art die so aussieht: bräunliche Haut / schwarze Haut, rötliche Augen / bräunliche Augen, weiße Haare / braune bis schwarze Haare, dünn, ...)
• "amazoness" ("Menschen-Typ" der so aussieht: bräunliche Haut, bräunliche Augen / grünliche Augen, dünn, braune bis schwarze Haare, ...)
• "girl" (Geschlechts- und Altersangabe | ähnlich "highshoolgirl", "schoolgirl", "highschool")
• skinny (Körperbau)

Wenn du auf den Animations-Style abspielst:

• "PoRO" (Animationsstudio)
• "Magin Label" (Animationsstudio)
• ...

Enjo Kouhai von Magin Label

Wo: Folgen 3, 6 und 8 Enthalten "Dämonen" ungefähr gleichen Körperbaus, aber weißen Haaren und hörnern.

Menge: 1 Staffel / 8 Folgen

Story: Eine Welt in der verschiedene Arten (Menschen, Elfen, Dämonen, Drachen, ...) zusammen Leben und zur Schule gehen. Dort ist ein Klassenraum mit einen Lehrer der durch diverse Umstände irgendwie dazu kommt mit diversen Schülern zu schlafen. Klingt dumm? Ist ein bisschen dumm, aber besser als es sich anhört.

Genre: Fast durchgehend "Vanilla", ein paar mal wir das Einverständnis für ein paar Sekunden gebrochen und maybe stirbt er einmal für so 10 Sekunden. (Die Zeitangaben meine ich so.)

Meine Meinung: Kann man sich geben. Den Animations-Style mag ich, die Atemeffekte sind nicht ganz meins, Story ist erträglich (für einen Hentai gut), ...

Kuroinu von Magin Label

Wo: 1 Folge

Menge: 1 Staffel / 6 Folgen, 2 Staffel / 1 Folge

Story: Basicly werden läute gefangen genommen und dann geraped.

Negativ-Aspekte: Die Animationen sind glänzender... Köperformen sind spitzer / eckiger...

Genre: Rape, Hardcore, BDSM, Blood, ...

Meine Meinung: Kann man sich anschauen, wenn man die Genre mag. Aber eine gute Story sollte man nicht erwarten... Die Animationen sind auch nicht ganz meins.

Shihai no Kyoudan von PoRO

Wo: 4 Folge

Menge: 1 Staffel / 4 Folgen

Story: Ist hier eigentlich unwichtig.

Negativ-Aspekte: Weiße Haare.

Genre: Rape, Hardcore, ... (es ist halt PoRO)

Meine Meinung: Kann man sich anschauen (genau wie alles von PoRO), wenn man die Genre mag. Aber eine gute Story sollte man nicht erwarten... Die Animationen mag ich.

...

Shuumatsu no Harem / World's End Harem

Dort sterben Aufgrund eines Virus in kürzerer Zeit 99% aller Männer und der MC hat als rarer Mann dann viel Vergnügen mit Frauen... Sein Auftrag ist es möglichst viele Frauen zu schwängern.

Es ist eher Vanilla gehalten.

Meine Meinung: Die Animationen sind smoth, die physics sind ok, der plot eher naja und die überdimensionierte Darstellung gewisser Geschlechtsorgane ist prägnant.

1 Staffel / 11 Episoden

Rasen Sokou no Dystopia

Irgendwie sind fast alle Menschen tot. Überlebender ist so'n random Typ, 3 Mädchen (eine davon ist seine Schwester) und ein paar Antagonisten mit übernatürlichen Fähigkeiten... Sie müssen irgendwie überleben und dürfen deswegen nicht mit den Antagonisten "Spaß" haben. Klingt wierd? Ist es auch.

Es ist vom Studio PoRo, was schon was aussagt. Es ist hardcore mit den Subgenres rape, Tentakel (nur in Folge 2), Inzest, BDSM, ...

Meine Meinung: Gute Animationen aber nicht ganz so smoth, physics sind ok, den "plot" versteh ich nicht, die Abnahme der Story-Qualität pro Folge ist recht prägnant. Kann man sich aber anschauen.

1 Staffel / 2 Folgen

Da sind halt eine paar Schoolgirls (und einer Lehrerin) in einen Raum gefangen mit son random Typen. Sie wollen entkommen, dafür müssen sie mit ihn einzeln Herausforderungen schaffen, wo er "Schlüssellöcher" via Angegebenen Methoden muss. Bis zum Beginn von Folge 6 existieren neben den Typen nur die Girls.

Es ist sehr Hardcore: Es sterben läute, es gibt Exkremente, Urin, BDSM, Elektroschocks, Würgen, Blut, Rape, ...

Meine Meinung: Wenn mans mag, kann man es sich anschauen, aber es ist definitiv für ein Großteil der Menschen zu extrem. Animation sind smoth, Arbeit mit Modellen wie Kugeln (sieht so für mich aus), Story ist besser als bei vielen anderen Hentais, aber etwas quick und etwas verwirrend. Prägnant ist die Vielfallt an "Methoden" und ihr Ausmaß in Brutalität.

1 Staffel / 6 Folgen