Mathematik?
Welche sachen muss ich wissen um Integralrechnung zu erlernen.
Ich bin zwar noch in der 8.Klasse doch ich bin sehr interessiert
3 Antworten
Ich denke, dass es davon abhängt über welche Herleitung man Integralrechnung lernen will. Dir sollte bewusst sein, dass je nachdem was du damit anstellen willst auch verschiedene, teilweise nicht gleiche und auch nicht äquivalente Definitionen von Integralen finden kannst und des so tiefer du gehst des so wichtiger werden diese kleinen Unterschiede in den Definitionen.
Aber am Anfang nachdem du eine passende Art gefunden hast, kommt wie du damit arbeiten willst. Du wirst da wahrscheinlich viele verschiedene Integrations-regeln und Verfahren kennen lernen und die wirst du dann auch als normaler Mensch nutzen, denn die vereinfachen alles enorm. Demnach solltest du diese lernen. Die wichtigsten wären:
- Summen- / Differenzenregel
- Faktorregel
- Das mit der Integrationskonstante
- Partielle Integration
- Substitutionsregel
- Logarithmisches Integrieren
- Falschen Integrieren (so wie falsches Ableiten nur für Integration)
Ich Liste auch einfach ein Paar Herleitungen auf:
Was ist das?
Wie schwer: Am elegantesten wäre der über Ableitungen (meiner Meinung nach).
Das ist weniger intuitiv, aber sehr elegant, wenn man unbestimmte Integration als Umkehrung zur Ableitung sieht. Grenzwerte wären hierbei wahrscheinlich dass Schwerste.
Was brauchst du dafür?
Dafür bräuchtest du Kenntnisse über:
- Ableitungen (Differentialrechnung) / Differentialquotient / Tangentensteigung
- Differenzenquotient / Sekantensteigung / Steigungsdreieck
- Grenzwerte / Limits / Limes
- Gebrochen rationale Funktionen
Vorteile
- Es lässt sich sehr schnell genügend Verallgemeinern um damit in andere coole Gebiete der Mathematik einzutauchen (z.B. fraktionale Infinitesimalrechnung, Differentialgleichungen aller Art, ...).
- Es lassen sich hiermit auch schnell viele Stammfunktionen finden.
- Es ist ein prima Einstieg in die Euler Methode (Verfahren zum numerischen Lösen von Differentialgleichungen)
Nachteile
- Nicht gerade Intuitiv.
- Übergang zur Flächenberechnung ist schwerer.
Was ist das?
Wie schwer: Weniger Elegant aber ziemlich intuitiv ist.
Integrale können genutzt werden um Flächen unter Funktionen zu bestimmen. Riemann kam als mögliche Herleitung und einfache Visualisierung davon darauf einfach die Funktionen in Abschnitte einzuteilen, unter diesen Abschnitten Rechtecke einzuzeichnen und deren Flächeninhalt dann zu berechnen und addieren. Lassen wir die Breiten der Rechtecke immer kleiner werden, so Erhalten wir das bestimmte Integral. Sie werden auch Darboux integrale genannt (bzw. sie sind äquivalent).
Alternativ gäbe es auch die Herleitung von Lebesgue, was extrem ähnlich ist.
Was brauchst du dafür?
- Grenzwerte / Limits / Limes
- Summenzeichen / Sigma-Notation
- Flächenberechnung bei Rechtecken (Breite * Länge)
Vorteile
- Sehr Intuitiv.
- Einfach zu verstehen.
Nachteile
- Herleitung zur Stammfunktion (das eigentlich sehr wichtige) ist schwerer.
- Herleitung der Beziehung zur Differentialrechnung ist auch nur so semi einfach.
- Verallgemeinerungen sind auch schwerer.
- ...
Was ist das?
Wie schwer: Kaum bis gar nicht intuitiv und man brauch wissen aus mehreren Ecken der Mathematik.
Stell dir irgendeine komplexwertige Funktion (eine Art von 3D bzw. 4D Funktion) vor. Jetzt willst die Fläche unter der Funktion haben... Aber du kannst auf einmal nicht nur mehr von links nach recht bzw. rechts nach links unter der Funktion die Fläche suchen, sondern entlang der gesamten Funktion in irgendwelchen Kurven, z.B. Kreisen. Wie kommst du an den Flächeninhalt?
Zum finden dieser Werte nutzt man diverse Tricks aus allen Ecken der Mathematik, z.B. diverse Integrationsregeln (z.B. Substitutionsregel) aus den zuvor genannten Herleitungen, irgendwelche Theoreme (z.B. Residuen Theorem), diverse Tricks, ...
Was brauchst du dafür?
- Etwas Verständnis über komplexe Zahlen
- Residuen und wie man sie findet
- Integrierbarkeit
- Grenzwerte / Limits / Limes
Vorteile
- Du kannst komplexwertige Funktionen integrieren
- Du kann in mehrdimensionalen Flächen finden
- Die Herleitung zum Ableiten in komplexen ist nahe
Nachteile
- Kompliziert
- Wenig intuitiv
- und selbst wenn man das Vorwissen hand ist es anstrengend
Es gibt noch viele andere Arten der Herangehensweisen (z.B. unfassbar viele numerische Verfahren) und Integraldefinitionen... Aber das sind die basic Sachen wie man herangehen kann.
ich erlaube mir ausnahmsweise zu zitieren
Für die Integralrechnung sollten Sie grundlegende Kenntnisse über Ableitungen, stetige Funktionen und Grenzwerte haben. Sie müssen auch verstehen, was ein Integral ist und wie es zur Flächenberechnung unter einer Kurve verwendet wird. Es ist wichtig, die verschiedenen Arten von Integralen zu kennen, wie das bestimmte und das unbestimmte Integral. Zusätzlich sind Kenntnisse über Integrationsregeln und -techniken wie partielle Integration und Substitution erforderlich.
kommt aber darauf an auf welchem niveau du sie beherrschen willst. für die schule sind nicht alle kenntnisse erforderlich
Vorkenntnisse braucht es kaum. Um die Thematik zu verstehen, reicht eine Präzisionswaage und eine Schere, oder genug Vorstellungskraft für Gedankenexperimente.