Ich komm da nicht weiter integral (x+1) /(x²+2x+3) ist eine Klausur aufgabe von mathe 1 Medizintechnik?
Integral (x+1) /(x²+2x+3) Lösung soll 1/2 ln( x² + 2x + 3 ) sein
Wer das lösen kann ist King
3 Antworten
Das ist ein Klassiker.
Wir kennen logarithmisches Ableiten:
L(f(x)) = (ln(f(x)))' = f'(x) / f(x)
Integrieren wir:
ln(|f(x)|) = Int f'(x) / f(x) dx
Schreiben wir um können wir das auch hier anwenden:
(c = Integrationskonstante = 1,5)
Ist x² + 2x +3 > 0, so können wir auch die Betragsstriche weglassen.
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LaTeX-Code für Interessierte:
\begin{align*}
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \int \frac{\left( \int \left( x + 1 \right)\, \operatorname{d}x \right)'}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \int \frac{\left( \frac{1}{2} \cdot x^{2} + x + c \right)'}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\left( x^{2} + 2 \cdot x + 2 \cdot c \right)'}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &\mid u\left( x \right) := x^{2} + 2 \cdot x + 3\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u'\left( x \right)}{u\left( x \right)}\, \operatorname{d}x = \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \left| u\left( x \right) \right| \right)\\
\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x + 3}\, \operatorname{d}x &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \left| x^{2} + 2 \cdot x + 3 \right| \right)\\
\end{align*}
Hallo,
der Zähler ist die Ableitung des Nenners.
Da drängt sich die Substitution u=x²+2x+3 auf mit du/dx=2x+2=2(x+1).
Als Substitutionsausgleich wird durch 2(x+1) geteilt, wodurch sich der Zähler x+1 wegkürzt und im Nenner 2u bleibt.
1/(2u)=(1/2)*1/u.
Stammfunktion von 1/u*du ist ln |u|. Das 1/2 bleibt unverändert, so daß das Integral vor der Resubstitution (1/2)*ln |u| lautet und mit u=x²+2x+3 (1/2)*ln |x²+2x+3|.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Lösung ableiten und die Ausgangsfunktion rauskriegen
kann man sogar im Kopf.
Du musst es aber umgekehrt machen, da würde ich Substitution
versuchen. Und dran denken, dass die Ableitung
von ln (x) 1/x ist.
Dann zeig mal rechenweg bitte, würdest mir damit echt eine gute Note für die Klausur bringen