Flächenberechnung Integral?
ich brauch dringend Hilfe. Ich muss diese Aufgabe morgen erklären und die verstehe ich nicht
Gegeben ist fa(x) = x^3-a^2x, a>0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von fa und der x-Achse eingeschlossenen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?
1 Antwort
Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades und diese ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Der Wendepunkt liegt im Koordinatenursprung.
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Damit hast Du die Grenzen der beiden Integrale. Eine Fläche liegt oberhalb und eine Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Diese Flächen sind aufgrund der Punktsymmetrie gleichgroß und sollen jeweils 4 FE betragen.
Nullstellen: x_01 = -a ; x_02 = 0 ; x_02 = a
Das Integral von -a bis 0 ist genauso groß wie das Integral von 0 bis a. a soll so bestimmt werden, dass die Flächen jeweils 4 FE betragen.
Aufgrund der Symmetrie reicht es aus, a mittels einem der beiden Abschnitte zu bestimmen.
Die Stammfunktion lautet: Fa(x) = (1 / 4) * x⁴ - (1 / 2) * a² * x² + C
Fläche von -a bis 0:
0 - ((1 / 4) * (-a)⁴ - (1 / 2) * a² * (-a)²) = 4
-((1 / 4) * a⁴ - (2 / 4) * a⁴) = 4
-(-(1 / 4) * a⁴) = 4
a⁴ = 16
a = 2
f(x) = x³ - 2² * x
Es handelt sich um das Integral in den Grenzen von -a nach 0. Folglich wird in die Stammfunktion für x zunächst 0 eingesetzt und dann -a, also:
(1 / 4) * 0⁴ - (1 / 2) * a² * 0² - ((1 / 4) * (-a)⁴ - (1 / 2) * a² * (-a)²) = 4
0 - ((1 / 4) * (-a)⁴ - (1 / 2) * a² * (-a)²) = 4
Danke erstmal. Aber wieso hast du am Anfang 0 geschrieben?