Kann jemand diese Matheaufgabe lösen?

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei x=√3 und schließt im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9/4 FE ein. Um welche Funktion handelt es sich?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, hat folgendes Schema:

f(x)=ax³+cx, denn alle x mit geraden Exponenten, also auch d*x^0 verschwinden.

Da das Maximum bei Wurzel (3) gegeben ist, wird die Ableitung gebildet:

f'(x)=3ax²+c.

Nach Einsetzen von Wurzel (3) für x steht da 9a+c. Ein Maximum an dieser Stelle bedeutet, daß die Ableitung hier gleich Null ist:

9a+c=0, woraus folgt, daß c=-9a.

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

f(x)=ax³-9ax.

Da die Obergrenze für die Fläche gesucht wird, suchst Du die Nullstellen:

ax³-9ax=0

Ausklammern von ax:

ax*(x²-9)=0.

Eine Nullstelle liegt also bei x=0, die anderen bei x=±3. Hier interessiert nur x=3, da es um den ersten Quadranten geht.

Stammfunktion bilden (das +C schenkt man sich hier):

F(x)=(1/4)ax^4-(9/2)ax².

Das wird von 0 bis 3 integriert, so daß gelten muß:

F(3)-F(0)=9/4. F(0)=0, daher reicht es F(3)=9/4 zu setzen:

(81/4)a-(81/2)a=9/4
-(81/4)a=9/4
a=-1/9 und da c=-9a, ist c=1.

Die Funktion lautet daher f(x)=(-1/9)x³+x.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[Halbrecht]

wie es aussieht hat eure Lehrkraft die Kenntnisse aus der 6 - 8 Klasse nicht wiederholt . das ist blöde

.

sym

ax³ + bx

f'(wurz(3) = 0

berechne nun die Nullstelle . Krist du hin

Answer 3

[kaceye3003]

Ich könnte es lösen, aber ich sag dir lieber wie es geht.
Du hast hier ja mehrere Bedinungungen, z.B:

• Grad 3
• Punktsymmetrisch --> kein y Achsenabschnitt
• Maximum bei x = sqrt 3
• Fläche

Daraus kannst du ein LGS bilden und so deine Koeffizienten bestimmen

Comments

[WolfgangD1970]

Das versuche ich bereits seit einer Stunde, ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir einmal den ganzen Rechenweg antworten könntest...
Viele Grüße

[Halbrecht]

@WolfgangD1970

eine stunde ? okay. welche Zwischenergebnisse kannst du uns zeigen ?

Answer 4

[evtldocha]

$f\left(x\right)\ =\ ax^3+bx^2+cx+d$

Bedingung 1: Punktsymmetrie zum Ursprung => b=0; d=0

$f\left(x\right)=ax^3+cx$ $f'\left(x\right)\ =3ax^2+c$

Stammfunktion (ohne Konstante)

$F\left(x\right)=\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{2}cx^2$

Nullstelle der Funktion (wird benötigt zur Berechnung der mit der x-Achse eingeschlossen Fläche)

$f\left(x\right)\ =\ 0\ =>\ x\cdot\left(ax^2\ +c\right)=0\ =>x_+=\sqrt{-\frac{c}{a}}$ Anmerkung: Die Nullstelle auf der negativen x-Achse ist hier nicht von Interesse, da diese nicht zu einer eingeschlossenen Fläche im 1. Quadranten führen kann.

Bedingung 2: Maximum

$f'\left(\sqrt{3}\right)\ =\ 3a\sqrt{3}^2+c\ =>\ c=-9a$

Bedingung 2: Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse

$\int_{_0\ }^{^{f\left(x_+\right)}}f\left(x\right)\ dx\ =\ \frac{9}{4}$ Daraus folgt:

$\int_{_0}^{^{\sqrt{-\frac{c}{a}}}}f\left(x\right)dx=\ -\frac{1}{4}a\cdot\left(\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^{^{^4}}+c\cdot\left(\sqrt{-\frac{c}{a}}\right)^{^{^2}}=\frac{9}{4}$

Einsetzen von c=-9a und nach a Auflösen liefert:

$a=-\frac{1}{27}$

Und mit dem Ergebnis aus Bedingung 2:

$c=\frac{1}{3}$

Die gesuchte Funktion lautet also:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{27}x^3+\frac{1}{3}x$

Answer 5

[LoverOfPi]

Ich bilde dir das Gleichungssystem und du berechnest es.

f(x)=a*x³+b*x x1=0, x2=√(b/a)

f'(x)=3ax²+b

f'(√3)=0 -> 0=3*a*3+b

F(x)=a/4*x⁴+b/2*x²

Jetzt berechnest du das Integral von 0 bis √(b/a) und setzt es mit 9/4 gleich.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester