Wie berechne ich arg(w^77)?
Ich habe folgende Probleme:
1. Wie kann ich mir das w mit der Potenz 77 vorstellen (bildlich)?
2. Wie kann ich das berechnen?
Die trigonometrische Form lautet ja (aus a entnommen):
Aber was nun
2 Antworten
Du hängst den Winkel 77 mal hintereinander. Da du dich dabei immer im Kreis um den Ursprung drehst, kommt es auf Vielfache von 2 Pi nicht an, nur den Rest.
Du kennst die Polarform:
Sagen wir w^{77} = w^{77}. Wenden wir die Polarform einmal auf w (links) und einmal auf w^{77} (rechts an):
Dividieren wir durch |w^{77}|, ziehen dann den ln( ) und dividieren dann durch i, so erhalten wir:
arg(w^{77}) = 77 * arg(w)
Das gilt analog für jeden reellen Exponenten von w:
arg(w^{a}) = a * arg(w)
Ihr habt das komplexe Argument in [0, 2 pi) definiert (denn alles andere wäre ja zu einfach).
Wir wissen, dass e^{x} periodisch zu 2 * pi * i ist, aka ln(e^{x}) = x + k * 2 * pi * i (k ist eine ganze Zahl):
arg(w^{77}) + k * 2 * pi = 77 * arg(w)
arg(w^{77}) = 77 * arg(w) - k * 2 * pi
arg(w^{77}) = 77 * pi/6 - k * 2 * pi
arg(w^{77}) = 77 * pi/6 - 6 * 2 * pi
arg(w^{77}) = 5 * pi/6
Wie findest du k? k muss arg in [0, 2pi) bringen und das erfüllt immer nur genau 1 k. Brude Foce würde klappen, oder du nimmst beim Term ohne k den Faktor vor pi (hier 77/6), teilst den durch 2 und rundest ab (k = Abrunden(Faktor / 2)). Warum? Das was du suchst ist das kleinste positive Ergebnis. Ist der k Term größer al der andere, so wäre er negativ. Ist er kleiner so sit er Positiv. Der kleinste Wert ist da wo es fast 0 ist (setzen gleich 0) lösen nach k, wir wollen das kleinste ganze was dran ist (abrunden).
1) Bildlich vorstellenAus der Berechnung geht hervor, dass arg(w^a) = a * arg(w) gilt aka w^77 hat den "Winkel" von w 77 mal aneinander gepackt.
Hier einmal 1*arg(w) bist 4*arg(w):
Bei 12*arg(w) kommen wir wieder bei 360° an. Wir zeichnen dann einfach weiter.
Du kommst normalerweise nicht so oft bei 360° vorbei. Dort legst du auch einfach immer weiter den Winkel (77 mal) den Winkel an. Miss dann am ende einmal von 0° bis zu den Punkt wo du bei der aktuellen Umrundung stehen geblieben bist. Das ist dein Winkel.
